9.32 In a certain region for which \sigma=0, \mu=2 \mu_{\mathrm{o}}, and \varepsilon=10 \varepsilon_{\mathrm{o}}
\mathbf{J}=60 \sin \left(10^{9} t-\mid \beta z\right) \mathbf{a}_{x} \mathrm{~mA} / \mathrm{m}^{2}
(a) Find \mathbf{D} and \mathbf{H}.
(b) Determine \beta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas específicas.
Dados fornecidos:
\sigma=0,\qquad \mu=2\mu_0,\qquad \varepsilon=10\varepsilon_0,
\mathbf{J}=60\sin\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{mA}/\mathrm{m}^2.
Observações sobre a escrita: convertendo a unidade de corrente para ampère por metro quadrado, 60\\ \mathrm{mA}/\mathrm{m}^2 = 60\times10^{-3}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2.
O que é pedido:
(a) Encontrar \mathbf{D} e \mathbf{H}.
(b) Determinar \beta.

Passo 2

Entendimento físico-matemático inicial (teoria necessária, explicada devagar).
A equação de Maxwell–Ampère (no espaço livre com correntes livres \mathbf{J}_{\text{free}}) é
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_{\text{free}}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.
Quando o meio tem condutividade \sigma, a corrente de condução seria \mathbf{J}_{\text{cond}}=\sigma\mathbf{E}. Aqui foi dado \sigma=0, ou seja, não há corrente de condução. Assim, qualquer densidade de corrente temporal fornecida no enunciado só pode corresponder à corrente de deslocamento \partial\mathbf{D}/\partial t (ou seja, não há termo \sigma\mathbf{E}). Portanto, podemos identificar diretamente
\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{J}.
Isto é importante: a igualdade anterior nos permite obter \mathbf{D} integrando \mathbf{J} em relação ao tempo. Vou explicar essa integração passo a passo no próximo passo.

Passo 3

Determinar \mathbf{D} integrando \partial\mathbf{D}/\partial t=\mathbf{J}.
Escrevendo \mathbf{J} em unidades-SI:
\mathbf{J}=60\times10^{-3}\sin\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x\quad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^2).
Integramos em t:
\mathbf{D}(t,z)=\int \mathbf{J}\,dt =60\times10^{-3}\int \sin\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,dt\\ \mathbf{a}_x.
A integral de \sin(\omega t-\beta z) em t é -\frac{1}{\omega}\cos(\omega t-\beta z) (a constante de integração física é tomada zero porque não há termo DC indicado no enunciado). Assim,
\mathbf{D}(t,z)=-\frac{60\times10^{-3}}{10^{9}}\cos\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x.
Calcule a amplitude numérica:
\frac{60\times10^{-3}}{10^{9}}=60\times10^{-12}=6{,}0\times10^{-11}.
Portanto
\boxed{\mathbf{D}(t,z)=-6{,}0\times10^{-11}\cos\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x\quad (\mathrm{C}/\mathrm{m}^2).}
Observação de forma alternativa (às vezes mais conveniente): podemos escrever -\cos(\theta)=\sin(\theta-\pi/2), logo
\mathbf{D}(t,z)=6{,}0\times10^{-11}\sin\!\bigl(10^{9}t-\beta z-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\,\mathbf{a}_x,
o que é a mesma solução com deslocamento de fase.

Passo 4

Obter \mathbf{E} a partir de \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} (fórmula constitutiva do meio linear).
Temos \varepsilon=10\varepsilon_0 e \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}. Então
\varepsilon=10\varepsilon_0=8{,}854\times10^{-11}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
Como \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}, temos
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{D}}{\varepsilon} =-\frac{6{,}0\times10^{-11}}{8{,}854\times10^{-11}}\cos\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x.
Calculando a razão numérica:
\frac{6{,}0}{8{,}854}\approx0{,}6776\approx0{,}678.
Logo
\boxed{\mathbf{E}(t,z)=-0{,}678\cos\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x\quad (\mathrm{V}/\mathrm{m}).}

Passo 5

Determinar \mathbf{H} usando as propriedades de uma onda plana no meio homogêneo e sem perda.
Para uma onda plana progressiva no sentido +z com \mathbf{E} ao longo de \mathbf{a}_x, o campo magnético \mathbf{H} fica paralelo a \mathbf{a}_y (para que \mathbf{E}\times\mathbf{H} aponte para +\mathbf{a}_z). A relação de amplitude entre E e H num meio linear, isotrópico e sem perdas é dada pela impedância intrínseca do meio:
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.
Aqui \mu=2\mu_0 e \varepsilon=10\varepsilon_0. A impedância do vácuo é \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx377\\ \Omega. Assim
\eta=\eta_0\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}=\eta_0\sqrt{\frac{2}{10}}=\eta_0\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\eta_0}{\sqrt{5}}.
Numericamente,
\eta\approx377\times\frac{1}{\sqrt{5}}\approx168{,}5\\ \Omega.

Passo 6

Calcular a amplitude de \mathbf{H} e o seu sinal/fase.
A amplitude de \mathbf{H} é |\mathbf{H}_0|=|\mathbf{E}_0|/\eta. Usando E_0=0{,}678\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}:
H_0=\frac{0{,}678}{168{,}5}\approx4{,}02\times10^{-3}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}.
Agora atenção ao sinal: encontramos \mathbf{E}=-E_0\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{a}_x. Para que a direção de propagação seja +\mathbf{a}_z (argumento \omega t-\beta z) devemos escolher \mathbf{H} com o mesmo fator temporal \cos(\omega t-\beta z) e direção tal que \mathbf{E}\times\mathbf{H}=+\mathbf{a}_z. Como \mathbf{E} tem sinal negativo (quando \cos>0 o vetor aponta em -\mathbf{a}_x), ao escolher \mathbf{H}=-H_0\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{a}_y obtemos
(-\mathbf{a}_x)\times(-\mathbf{a}_y)=\mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_y=\mathbf{a}_z,
ou seja, fluxo de energia em +\mathbf{a}_z. Portanto
\boxed{\mathbf{H}(t,z)=-4{,}02\times10^{-3}\cos\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_y\quad (\mathrm{A}/\mathrm{m}).}
(Alternativamente, em forma senoidal com fase, \mathbf{H}=4{,}02\times10^{-3}\sin(10^{9}t-\beta z-\tfrac{\pi}{2})\,\mathbf{a}_y.)

Passo 7

Determinar \beta (constante de fase).
Em um meio homogêneo e sem perdas a constante de fase \beta é dada por
\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}.
Aqui \omega=10^{9}\\ \mathrm{rad/s}, \mu=2\mu_0, \varepsilon=10\varepsilon_0. Usando \mu_0\varepsilon_0=1/c^2 (com c\approx3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}):
\sqrt{\mu\varepsilon}=\sqrt{2\cdot10}\,\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\sqrt{20}\,\frac{1}{c}.
Assim
\beta=\omega\frac{\sqrt{20}}{c}=\frac{10^{9}\sqrt{20}}{3{,}0\times10^{8}}\\ \mathrm{rad/m}.
Calculando numericamente,
\beta\approx14{,}91\\ \mathrm{rad/m}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{D}(t,z)=-6{,}0\times10^{-11}\cos\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2\n
\displaystyle \mathbf{H}(t,z)=-4{,}02\times10^{-3}\cos\!\bigl(10^{9}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_y\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}\n
\displaystyle \beta\approx14{,}91\\ \mathrm{rad}/\mathrm{m}

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