9.32 In a certain region for which
, and
(a) Find
and
.
(b) Determine
.
(b) Determine
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas específicas.
Dados fornecidos:
Observações sobre a escrita: convertendo a unidade de corrente para ampère por metro quadrado,
.
O que é pedido:
(a) Encontrar e
.
(b) Determinar .
(a) Encontrar
(b) Determinar
Passo 2
Entendimento físico-matemático inicial (teoria necessária, explicada devagar).
A equação de Maxwell–Ampère (no espaço livre com correntes livres
) é
Quando o meio tem condutividade
, a corrente de condução seria
. Aqui foi dado
, ou seja, não há corrente de condução. Assim, qualquer densidade de corrente temporal fornecida no enunciado só pode corresponder à corrente de deslocamento
(ou seja, não há termo
). Portanto, podemos identificar diretamente
Isto é importante: a igualdade anterior nos permite obter
integrando
em relação ao tempo. Vou explicar essa integração passo a passo no próximo passo.
Passo 3
Determinar
integrando
.
Escrevendo
em unidades-SI:
Integramos em
:
A integral de
em
é
(a constante de integração física é tomada zero porque não há termo DC indicado no enunciado). Assim,
Calcule a amplitude numérica:
Portanto
Observação de forma alternativa (às vezes mais conveniente): podemos escrever
, logo
o que é a mesma solução com deslocamento de fase.
Passo 4
Obter
a partir de
(fórmula constitutiva do meio linear).
Temos
e
. Então
Como
, temos
Calculando a razão numérica:
Logo
Passo 5
Determinar
usando as propriedades de uma onda plana no meio homogêneo e sem perda.
Para uma onda plana progressiva no sentido
com
ao longo de
, o campo magnético
fica paralelo a
(para que
aponte para
). A relação de amplitude entre
e
num meio linear, isotrópico e sem perdas é dada pela impedância intrínseca do meio:
Aqui
e
. A impedância do vácuo é
. Assim
Numericamente,
Passo 6
Calcular a amplitude de
e o seu sinal/fase.
A amplitude de
é
. Usando
:
Agora atenção ao sinal: encontramos
. Para que a direção de propagação seja
(argumento
) devemos escolher
com o mesmo fator temporal
e direção tal que
. Como
tem sinal negativo (quando
o vetor aponta em
), ao escolher
obtemos
ou seja, fluxo de energia em
. Portanto
(Alternativamente, em forma senoidal com fase,
.)
Passo 7
Determinar
(constante de fase).
Em um meio homogêneo e sem perdas a constante de fase
é dada por
Aqui
,
,
. Usando
(com
):
Assim
Calculando numericamente,