Um objeto está colocado a +34 cm de um espelho, cuja distância focal é de +20 cm . A que distância do espelho será formada a imagem e quais são as caracteríscticas do espelho (E) e da imagem (I)?

Notas

  • Apesar da 2a parte da questão valer 30 \% da nota, o sistema dará zero se o estudante tiver errado a 1a parte. Assim, para que tenha garantida a nota desta parte, mesmo que tenha errado a primeira, é necessário enviar a solução conforme as regras estabelecidas nesta atividade e contactar a professora Aline, pedindo a revisão.
  • Quando o valor for negativo, é OBRIGATÓRIO colocar o sinal negativo na resposta;
  • A resposta deve ser dada em centímetros.

Passo 1

Dados que o enunciado fornece:
d_o = +34\\ \text{cm}
f = +20\\ \text{cm}
Perguntas do enunciado:
  • A que distância do espelho será formada a imagem? (ou seja, determinar d_i em centímetros, com sinal quando necessário)
  • Quais são as características do espelho (E) e da imagem (I)?

Passo 2

Apresento a fórmula que relaciona distância focal, distância do objeto e distância da imagem para um espelho esférico:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}
Explicação das variáveis e convenções de sinal que vou usar (muito importante para interpretar o resultado):
  • f é a distância focal do espelho. Sinal positivo ( +) indica espelho côncavo (convergente); sinal negativo ( -) indicaria espelho convexo (divergente).
  • d_o é a distância do objeto ao espelho. Aqui d_o>0 significa objeto real colocado na frente do espelho.
  • d_i é a distância da imagem ao espelho. Se d_i>0 a imagem é real e formada na frente do espelho; se d_i<0 a imagem é virtual e está “atrás” do espelho.
    Vou usar também a fórmula da ampliação (magnificação):
m=-\frac{d_i}{d_o}
Explicação de m:
  • Sinal de m: m<0 significa imagem invertida; m>0 significa imagem direita (não invertida).
  • Valor absoluto |m|: |m|>1 imagem ampliada; |m|<1 imagem reduzida; |m|=1 mesma tamanho.

Passo 3

Isolo d_i a partir da equação dos espelhos:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}
Substituindo os valores fornecidos:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{20}-\frac{1}{34}

Passo 4

Faço a conta com frações, passo a passo:
\frac{1}{20}-\frac{1}{34}=\frac{34-20}{20\cdot 34}=\frac{14}{680}=\frac{7}{340}
Portanto
\frac{1}{d_i}=\frac{7}{340}
Inverto para obter d_i:
d_i=\frac{340}{7}\\ \text{cm}
Transformando em decimal (usar vírgula como separador decimal):
d_i=\frac{340}{7}\\ \text{cm}\approx 48,571\\ \text{cm}
Observação sobre o sinal: o resultado é positivo, então d_i=+48,571\\ \text{cm}.

Passo 5

Calculo da ampliação m para caracterizar a imagem:
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{\frac{340}{7}}{34}=-\frac{340}{7\cdot 34}=-\frac{10}{7}
Em decimal:
m=-\frac{10}{7}\approx -1,4286
Interpretação:
  • m<0 indica que a imagem é invertida em relação ao objeto.
  • |m|=\frac{10}{7}\approx 1,4286>1 indica que a imagem é ampliada (maior que o objeto) por um fator \frac{10}{7}.

Passo 6

Caracterização final do espelho e da imagem com base nos sinais e resultados:
  • Como f=+20\\ \text{cm} (positiva), o espelho é côncavo (convergente).
  • Como d_i=+48,571\\ \text{cm} (positiva), a imagem é real e está formada na frente do espelho, a 48,571\\ \text{cm} do espelho.
  • Como m<0, a imagem é invertida.
  • Como |m|>1, a imagem é ampliada, com fator de ampliação \left|m\right|=\dfrac{10}{7}.

Resposta

d_i = +\dfrac{340}{7}\\ \text{cm} \approx +48,571\\ \text{cm}
Espelho (E): côncavo (convergente), f=+20\\ \text{cm}
Imagem (I): real, invertida, ampliada, m=-\dfrac{10}{7}\approx -1,4286

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