\mathbf{0 2}(\mathbf{2}, \mathbf{0}). Uma carga pontual de 8,85 \mu \mathrm{C} está no centro de uma superficie gaussiana cúbica de 55 cm de aresta. Qual é o fluxo elétrico através da superficie? ( \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Há uma carga pontual de 8{,}85\\ \mu\mathrm{C} localizada no centro de uma superfície gaussiana cúbica.
  • A aresta do cubo é 55\\ \mathrm{cm}.
  • A constante do vácuo é \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (fornecida).
  • Pergunta: qual é o fluxo elétrico total através da superfície fechada do cubo?
Obs.: eu listei todas as informações importantes que aparecem no enunciado e deixei explícito o que está sendo pedido.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma):
  • Fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é definido por
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico e d\mathbf{A} é o vetor área elementar (módulo igual à área do elemento, direção perpendicular à superfície, sentido para fora).
  • A Lei de Gauss relaciona esse fluxo com a carga total confinada pela superfície fechada:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui:
  • \Phi é o fluxo elétrico total através da superfície fechada,
  • q_{\text{enc}} é a carga total envolvida pela superfície (no nosso caso, a carga pontual),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, dada no enunciado.
Explicando em palavras: para qualquer superfície fechada que contenha uma certa carga dentro dela, o fluxo total pelas faces dessa superfície vale simplesmente q_{\text{enc}}/\varepsilon_{0}. Isso independe da forma e do tamanho da superfície; depende só da carga dentro.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss ao problema:
  • A carga pontual está dentro do cubo (no centro), logo ela é exatamente a carga envolvida: q_{\text{enc}}=8{,}85\\ \mu\mathrm{C}.
  • Portanto o fluxo total pela superfície do cubo é
\Phi=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Antes de substituir, convertemos a carga para o SI (Coulomb):
  • 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}, então
q_{\text{enc}}=8{,}85\\ \mu\mathrm{C}=8{,}85\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Substituindo os valores e fazendo a conta passo a passo:
\Phi=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{8{,}85\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}}.
Agora simplificamos: os fatores 8{,}85 cancelam, restando as potências de 10:
\Phi = \frac{10^{-6}}{10^{-12}}=10^{6}.
Logo o fluxo é 10^{6} no sistema SI. Unidades do fluxo elétrico: \mathrm{N\cdot m^{2}/C} (porque \mathbf{E} tem unidades \mathrm{N/C} e área tem \mathrm{m^{2}}).
Portanto
\Phi=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 5

Comentário pedagógico extra (útil para a prova): se você quiser o fluxo por cada face do cubo, note que a carga está no centro, o que dá simetria perfeita entre as seis faces. Assim o fluxo por face é igual e vale
\Phi_{\text{face}}=\frac{\Phi}{6}=\frac{1{,}0\times10^{6}}{6}\approx1{,}666\ldots\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Mas a questão pedia o fluxo total pela superfície, que já foi calculado.

Resposta

1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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