***32 Um cilindro maciço, Jongo, nâo condutor, com 4,0 cm de raío, possui uma densidade volumétrica de cargas não uniforme rho que é função da distância radial r a partir do eixo do cilindro: rho= A r^2 Se A=2,5 mu C / m^5, deternine o módulo do campo elétrico (a) para r=3,0 cm; (b) para r=5,0 cm.

Seçâo 23-8 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar

Passo 1

Então, o problema diz: temos um cilindro não condutor, raio rho(r)=A,r^2, A=2,5;mu C/m^5 , densidade volumétrica de carga dada por
PhiE=E,(2pi r L)=Qrm intvarepsilon0
A pergunta é: qual o módulo do campo elétrico
(a) dentro do cilindro, em
(b) fora do cilindro, em .
Conteúdo que vamos usar: simetria cilíndrica e Lei de Gauss. Precisamos integrar a densidade para achar a carga contida num raio e depois aplicar

Passo 2

Calcular a carga contida em um cilindro de comprimento Qrm int(r)=integral0^rrho(r');dV =integral0^rA,r'^2,(2pi r' L),dr' =2pi A Lintegral0^rr'^3,dr' =2pi A L;r^44 =pi A L,r^42 e raio .

Passo 3

Para E(r),2pi r L=Qrm int(r)varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r)=Qrm int(r)2pivarepsilon0,r L =pi A L,r^4/22pivarepsilon0,r L =A,r^34,varepsilon0 (dentro do cilindro), pela Lei de Gauss:

Passo 4

Para E(r),2pi r L =Qrm totvarepsilon0 =pi A L,R^4/2varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) =pi A L,R^4/22pivarepsilon0,r L =A,R^44,varepsilon0,r (fora do cilindro), toda a carga total fica dentro da superfície de Gauss de raio . Então

Passo 5

Agora é só botar os números:
  • E(0,03) =A,(0,03)^34,varepsilon0 =2,5times10^-6,times(2,7times10^-5)4times8,85times10^-12 approx1,9;N/C
  • E(0,05) =A,(0,04)^44,varepsilon0,(0,05) =2,5times10^-6,times2,56times10^-64times8,85times10^-12times0,05 approx3,6;N/C
  • .
(a) Dentro, em :
(b) Fora, em :

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados