Considerando os isótopos: Deutério RD e Trítio RT, faça o que se pede:
a) Determine os valores das constantes de Rydberg, lambda e n=3 n=2. Discuta.
b) Calcule os comprimentos de onda ( n=4 n=2 ) paras as 2 primeiras transições ( ^3 T e lambda ) da série de Balmer, para todos os isótopos. Discuta os resultados.
Prof. Gabriel Heerdt
c) Apenas para o átomo de n=3 n=2, calcule para a transição considerando o espectro de estrutura fina. Discuta os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre os isótopos Deutério ( ^2 D) e Trítio ( ^3 T). A gente vai mexer com a constante de Rydberg, calcular comprimentos de onda de transições na série de Balmer e até considerar a estrutura fina para o trítio. Pra isso, vamos precisar entender um pouco da física atômica, especialmente a fórmula de Rydberg e como ela se aplica a diferentes isótopos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), que pede para determinar as constantes de Rydberg para Deutério ( RD) e Trítio ( RT). A constante de Rydberg depende da massa do núcleo do átomo, ou seja, dos isótopos que estamos considerando. Isso porque a constante de Rydberg ( R) é dada por:
R = Rinfty cdot mume
Aqui, Rinfty é a constante de Rydberg para massa infinita (valor padrão), mu é a massa reduzida do elétron e do núcleo, e me é a massa do elétron.

Passo 3

A massa reduzida mu é calculada por:
mu = me cdot Mme + M approx me (1 - meM)
Como M (massa do núcleo) é bem maior que me, podemos simplificar e dizer que mu approx me. Mas, para isótopos diferentes, mu varia um pouco, afetando R.

Passo 4

Vamos calcular mu para cada isótopo. As massas dos isótopos são aproximadamente:
  • Deutério ( ^2D): MD = 2 , u
  • Trítio ( ^3T): MT = 3 , u
Onde 1 u (unidade de massa atômica) = 1.660539 times 10^-27 , kg e me = 9.109383 times 10^-31 , kg.

Passo 5

Calculando mu:
muD = me cdot MDme + MD approx me (1 - meMD) approx me
muT = me cdot MTme + MT approx me (1 - meMT) approx me
Como a massa do núcleo é muito maior que a do elétron, a diferença é mínima, mas ainda assim existe uma pequena variação.

Passo 6

Agora, aplicando isso na fórmula da constante de Rydberg:
RD = Rinfty cdot muDme approx Rinfty (1 - meMD)
RT = Rinfty cdot muTme approx Rinfty (1 - meMT)
Usando Rinfty = 1.097 times 10^7 , m^-1, podemos calcular os valores específicos.

Passo 7

Calculando as constantes:
Para Deutério:
RD approx 1.097 times 10^7 (1 - 9.109383 times 10^-312 times 1.660539 times 10^-27) approx 1.097 times 10^7 times 0.999997
RD approx 1.097 times 10^7 times 0.999997 approx 1.097 times 10^7 , m^-1
Similarmente para Trítio:
RT approx 1.097 times 10^7 (1 - 9.109383 times 10^-313 times 1.660539 times 10^-27) approx 1.097 times 10^7 times 0.999998
RT approx 1.097 times 10^7 , m^-1
A diferença é muito pequena devido à grande massa dos isótopos comparada à do elétron.

Passo 8

Agora, vamos para a parte b). Precisamos calcular os comprimentos de onda ( lambda) para as transições n=3 n=2 e n=4 n=2 na série de Balmer para ambos os isótopos. Usamos a fórmula de Rydberg:
1lambda = R (12^2 - 1n^2)
Onde n é o nível de energia inicial.

Passo 9

Primeiro, para n=3 n=2:
1lambda = R (14 - 19) = R (536)
lambda = 365 R
Fazemos isso para RD e RT.

Passo 10

Para n=4 n=2:
1lambda = R (14 - 116) = R (316)
lambda = 163 R
Novamente, aplicamos para cada constante de Rydberg dos isótopos.

Passo 11

Calculando os comprimentos de onda:
Para Deutério ( RD approx 1.097 times 10^7 , m^-1):
lambda3 2 = 365 times 1.097 times 10^7 approx 6.56 times 10^-7 , m = 656 , nm
lambda4 2 = 163 times 1.097 times 10^7 approx 4.88 times 10^-7 , m = 488 , nm
Para Trítio ( RT approx 1.097 times 10^7 , m^-1):
Os valores serão praticamente os mesmos devido à pequena diferença na constante de Rydberg.
lambda3 2 approx 656 , nm
lambda4 2 approx 488 , nm

Passo 12

Finalmente, para a parte c), precisamos considerar a estrutura fina para a transição n=3 n=2 no átomo de Trítio. A estrutura fina leva em conta o acoplamento spin-órbita, o que causa um desdobramento nas linhas espectrais.
A fórmula para a estrutura fina adiciona uma pequena correção no comprimento de onda:
De
Onde De depende dos níveis de energia com spin diferentes.

Passo 13

Para simplificar, vamos assumir que o desdobramento é pequeno e calcular apenas uma aproximação do novo comprimento de onda. Isso geralmente resulta em uma ligeira diferença em lambda, que pode ser calculada experimentalmente. Porém, sem valores específicos de De, não podemos calcular numericamente aqui.

Resposta

Calculamos que as constantes de Rydberg são quase iguais para Deutério e Trítio, resultando em comprimentos de onda de aproximadamente 656 nm e 488 nm para as transições n=3 n=2 e n=4 n=2 na série de Balmer para ambos os isótopos. Além disso, no átomo de Trítio, a transição n=3 n=2 apresenta uma pequena variação no comprimento de onda devido à estrutura fina.

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