a) não possui solução;
b) possui infinitas soluções e encontre todas elas;
c) possui uma solução única e encontre ela.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z,w\):
\[\begin{cases} x+y+2z+w=1,\\[4pt] x+2y+3z+w=2,\\[4pt] x+2y+4z+2w=4,\\[4pt] x+2y+9z+\bigl(a^{2}-9\bigr)w=b+10. \end{cases}
As perguntas são:
a) Para que valores de a\] e \(b o sistema não possui solução?
b) Para que valores de a e b o sistema possui infinitas soluções e, nesse caso, encontrar todas elas.
c) Para que valores de a e b o sistema possui solução única e, nesse caso, encontrar essa solução.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: os coeficientes das quatro equações (listados acima) e que a dependência do quarto membro da última equação está em b e em a através de a^{2}.]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema (colunas: x,y,z,w e a coluna aumentada com os termos independentes). A matriz aumentada inicial é
Agora faço eliminações para triangularizar (operações elementares por linha). Primeiro, subtraio a primeira linha de cada uma das linhas 2,3,4 para zerar a primeira coluna abaixo de 1.
R2 <- R2 - R1, R3 <- R3 - R1, R4 <- R4 - R1. O resultado é
A partir da última linha escalonada temos a equação
\bigl(a^{2}-16\bigr)w = b-4.
Isto é decisivo para o número de soluções. Vamos analisar os dois casos possíveis para o fator a^{2}-16.
Se a^{2}-16 \neq 0 (ou seja, a^{2}\neq16, equivalente a a\neq4 e a\neq-4), então a última linha dá w determinado por
w=\dfrac{b-4}{a^{2}-16},
e não aparece nenhuma contradição. A matriz de coeficientes tem posto 4 (todas as quatro linhas independentes), então há solução única.
Se a^{2}-16=0 (ou seja, a=4 ou a=-4), então a última linha vira 0= b-4. Assim:
Se b\neq4, a última linha é 0 = um número não nulo, impossível — o sistema é incompatível (sem solução).
Se b=4, a última linha é 0=0 e não impõe restrição adicional: o posto da matriz de coeficientes é 3 (terceira linha não é combinação linear trivial das anteriores) e o posto da matriz aumentada também é 3. Como há 4 incógnitas, temos 4-3=1 variável livre e, portanto, infinitas soluções com um parâmetro livre.
Isso responde qualitativamente (a)/(b)/(c) quanto à existência e quantidade de soluções. Nas próximas etapas encontro explicitamente as soluções nos casos relevantes.
Passo 6
Vou expressar as incógnitas por substituição regressiva a partir da forma escalonada geral (válida para todos os casos, lembrando que a equação final pode impor valor para w ou não).
Das linhas escalonadas obtemos, da terceira linha,
z + w = 2 \quad\Rightarrow\quad z = 2 - w.
Da segunda linha,
y + z = 1 \quad\Rightarrow\quad y = 1 - z = 1 - (2 - w) = -1 + w.
Da primeira linha,
x + y + 2z + w = 1.
Substituindo y e z:
x + (-1 + w) + 2(2 - w) + w = 1.
Calcule passo a passo:
x -1 + w + 4 -2w + w = 1 \quad\Rightarrow\quad x +3 = 1 \quad\Rightarrow\quad x = -2.
Observe algo importante: x saiu fixo e independente de w (e, consequentemente, independente de a,b). As expressões parciais são
x=-2,\qquad y=-1+w,\qquad z=2-w.
Falta tratar w conforme o caso (determinado ou livre).
Passo 7
Caso único solução (a^{2}\neq16).
Quando a^{2}\neq16 temos, da última linha,
Pode-se deixar x fixo em -2 e as demais como frações acima. Esse é o único triplo/quádruplo (x,y,z,w) que resolve o sistema quando a\neq\pm4.
Passo 8
Caso infinitas soluções (a=\pm4 e b=4).
Quando a^{2}=16 e b=4, a última linha é 0=0 e w fica livre. Denotando o parâmetro livre por t\in\mathbb{R} (escolho t=w), obtemos a família de soluções
Ou seja, existe uma reta de soluções no espaço (x,y,z,w).
Passo 9
Caso sem solução (a=\pm4 e b\neq4).
Quando a^{2}=16 e b\neq4 a última linha dá 0 = b-4 com b-4\neq0, contradição; portanto o sistema é incompatível e não possui solução.
Resposta
a) Não possui solução para a=\pm4 e b\neq4.
b) Possui infinitas soluções quando a=\pm4 e b=4. Todas as soluções são