Seja w=x^{2} y \cos z. Determine
\partial w / \partial z(2,1,0)

Passo 1

O enunciado dá a função w(x,y,z)=x^{2}y\cos z e pede a derivada parcial de w em relação a z no ponto (2,1,0), ou seja, \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}(2,1,0).
Informações fornecidas:
  • A função é w(x,y,z)=x^{2}y\cos z.
  • O ponto onde avaliar é (x,y,z)=(2,1,0).
  • A incógnita pedida é a derivada parcial em relação a z.

Passo 2

Lembrando o que é derivada parcial em relação a z: fixam-se x e y e diferencia-se em função de z como se fosse uma função de uma variável só. Formalmente,
\frac{\partial w}{\partial z}(x_{0},y_{0},z_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{w(x_{0},y_{0},z_{0}+h)-w(x_{0},y_{0},z_{0})}{h}.
Isso significa que, ao derivar em relação a z, tratamos x e y como constantes.

Passo 3

Observe a estrutura da função: w(x,y,z)=\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot\cos z. Aqui \bigl(x^{2}y\bigr) depende apenas de x e y, logo, ao derivar em relação a z isso se comporta como uma constante multiplicativa. Se chamarmos C(x,y)=x^{2}y, então, para cada x,y fixos,
\frac{d}{dz}\bigl(C\cdot\cos z\bigr)=C\cdot\frac{d}{dz}(\cos z).
Agora usamos a derivada conhecida da função cosseno:
\frac{d}{dz}(\cos z)=-\sin z.
Explicando brevemente: a derivada do cosseno é o negativo do seno porque a taxa de variação do cosseno com relação a z é exatamente essa — é uma regra básica de derivação de funções trigonométricas.

Passo 4

Aplicando o que dissemos, a derivada parcial simbólica é
\frac{\partial w}{\partial z}(x,y,z) = x^{2}y\cdot\bigl(-\sin z\bigr) = -x^{2}y\sin z.
Aqui cada símbolo significa:
  • x e y: variáveis que ficam como fatores constantes no processo de diferenciação em relação a z;
  • z: variável em relação à qual estamos diferenciando;
  • \sin z: seno de z.

Passo 5

Agora avaliamos essa expressão no ponto (2,1,0). Substituindo x=2, y=1, z=0, obtemos
\frac{\partial w}{\partial z}(2,1,0) = - (2)^{2}\cdot(1)\cdot\sin(0).

Passo 6

Calcule os valores numéricos simples:
(2)^{2}=4,\qquad \sin(0)=0.
Portanto
\frac{\partial w}{\partial z}(2,1,0) = -4\cdot 1\cdot 0 = 0.
Intuição curta: em z=0 o cosseno tem tangente horizontal, então a variação instantânea em z é zero — é por isso do resultado ser 0.

Resposta

0

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