Seja
. Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde avaliar é
. - A incógnita pedida é a derivada parcial em relação a
.
Passo 2
Lembrando o que é derivada parcial em relação a
: fixam-se
e
e diferencia-se em função de
como se fosse uma função de uma variável só. Formalmente,
Isso significa que, ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Passo 3
Observe a estrutura da função:
. Aqui
depende apenas de
e
, logo, ao derivar em relação a
isso se comporta como uma constante multiplicativa. Se chamarmos
, então, para cada
fixos,
Agora usamos a derivada conhecida da função cosseno:
Explicando brevemente: a derivada do cosseno é o negativo do seno porque a taxa de variação do cosseno com relação a
é exatamente essa — é uma regra básica de derivação de funções trigonométricas.
Passo 4
Aplicando o que dissemos, a derivada parcial simbólica é
Aqui cada símbolo significa:
-
e : variáveis que ficam como fatores constantes no processo de diferenciação em relação a ; -
: variável em relação à qual estamos diferenciando; -
: seno de .
Passo 5
Agora avaliamos essa expressão no ponto
. Substituindo
,
,
, obtemos
Passo 6
Calcule os valores numéricos simples:
Portanto
Intuição curta: em
o cosseno tem tangente horizontal, então a variação instantânea em
é zero — é por isso do resultado ser
.