2.31 Exercício. Resolva os sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z+w=8 \x+3 y+w=7 \x+2 z+w=4\end{array}\right.
a)
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z+w=8 \x+3 y+w=7 \x+2 z+w=4\end{array}\right.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O sistema é:
\begin{cases} x+2y+3z+w=8,\\[4pt] x+3y+w=7,\\[4pt] x+2z+w=4. \end{cases}
O que o problema pede: encontrar os valores de x,\;y,\;z,\;w que satisfazem simultaneamente as três equações acima. Não há outras informações fornecidas.]

Passo 2

Uma forma prática de resolver sistemas é usar a representação em matriz aumentada e aplicar operações elementares sobre linhas (eliminação de Gauss). Vou explicar isso rapidinho de forma didática:
  • A matriz aumentada escreve os coeficientes das incógnitas e o lado direito numa única matriz. Cada linha corresponde a uma equação.
  • Operações elementares permitidas (que não mudam o conjunto de soluções) são:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um número não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo é chegar a uma forma triangular ou reduzida onde se possam ler as incógnitas por substituição.
Agora escrevo a matriz aumentada do sistema. A ordem das colunas é x,\;y,\;z,\;w e a última coluna é o termo independente:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 & 8\\[4pt] 1 & 3 & 0 & 1 & 7\\[4pt] 1 & 0 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right]]

Passo 3

Começo eliminando x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô. Faço R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Vou calcular cada elemento:
Para R_2-R_1:
  • coeficiente de x: 1-1=0,
  • coeficiente de y: 3-2=1,
  • coeficiente de z: 0-3=-3,
  • coeficiente de w: 1-1=0,
  • termo independente: 7-8=-1.
Para R_3-R_1:
  • coeficiente de x: 1-1=0,
  • coeficiente de y: 0-2=-2,
  • coeficiente de z: 2-3=-1,
  • coeficiente de w: 1-1=0,
  • termo independente: 4-8=-4.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -3 & 0 & -1\\[4pt] 0 & -2 & -1 & 0 & -4 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora temos um subsistema para y,z,w\) nas linhas 2 e 3: \[\begin{cases} y-3z+0\cdot w=-1,\\[4pt] -2y-1z+0\cdot w=-4. \end{cases}
Para eliminar y\] da linha 3, somo \(2 vezes a linha 2 à linha 3: R_3\leftarrow R_3+2R_2. Faço as contas:
2R_2 = (0,\;2,\;-6,\;0,\;-2).
Somando em R_3:
  • coeficiente de x: 0+0=0,
  • coeficiente de y: -2+2=0,
  • coeficiente de z: -1+(-6)=-7,
  • coeficiente de w: 0+0=0,
  • termo independente: -4+(-2)=-6.
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -3 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -7 & 0 & -6 \end{array}\right]]

Passo 5

A última linha corresponde à equação -7z= -6. Isolando z:
-7z=-6 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{-6}{-7}=\frac{6}{7}.
Expliquei: dividiu-se ambos os lados por -7. Resultado: z=\tfrac{6}{7}.

Passo 6

Agora uso a segunda linha (que é y-3z=-1) para achar y. Substituo z=\tfrac{6}{7}:
y-3\cdot\frac{6}{7}=-1.
Calculo 3\cdot\frac{6}{7}=\frac{18}{7}. Então
y-\frac{18}{7}=-1.
Escrevo -1 com denominador 7: -1=-\frac{7}{7}. Assim
y=\!-\frac{7}{7}+\frac{18}{7}=\frac{11}{7}.
Portanto y=\tfrac{11}{7}.

Passo 7

Observação importante: nas linhas 2 e 3 o coeficiente de w é 0. Isso significa que w não foi determinado por essas equações; o sistema tem mais incógnitas que equações e portanto teremos uma família infinita de soluções paramétricas. Em provas costuma-se escolher uma incógnita livre (parâmetro). Vou escolher
w=t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 8

Agora volto à primeira equação para determinar x. A primeira equação é x+2y+3z+w=8. Substituo y=\tfrac{11}{7}, z=\tfrac{6}{7} e w=t:
x+2\cdot\frac{11}{7}+3\cdot\frac{6}{7}+t=8.
Calculo os termos:
2\cdot\frac{11}{7}=\frac{22}{7},\qquad 3\cdot\frac{6}{7}=\frac{18}{7}.
Somando esses dois: \dfrac{22}{7}+\dfrac{18}{7}=\dfrac{40}{7}. Então
x+\frac{40}{7}+t=8.
Escrevo 8 como \dfrac{56}{7}. Assim
x=\frac{56}{7}-\frac{40}{7}-t=\frac{16}{7}-t.
Portanto x=\dfrac{16}{7}-t.

Passo 9

Resumo e forma paramétrica da solução. Tomando w=t com t\in\mathbb{R}, obtemos:
x=\frac{16}{7}-t,\qquad y=\frac{11}{7},\qquad z=\frac{6}{7},\qquad w=t.
Isto é uma família infinita de soluções parametrizada por t. Dica de prova: se quiser, pode escolher outro parâmetro (por exemplo t=-s) — é equivalente. Sempre verifique substituindo de volta nas equações originais para garantir que não houve erro aritmético.

Resposta

x=\dfrac{16}{7}-t
y=\dfrac{11}{7}
z=\dfrac{6}{7}
w=t

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