O que o problema pede: encontrar os valores de x,\;y,\;z,\;w que satisfazem simultaneamente as três equações acima. Não há outras informações fornecidas.]
Passo 2
Uma forma prática de resolver sistemas é usar a representação em matriz aumentada e aplicar operações elementares sobre linhas (eliminação de Gauss). Vou explicar isso rapidinho de forma didática:
A matriz aumentada escreve os coeficientes das incógnitas e o lado direito numa única matriz. Cada linha corresponde a uma equação.
Operações elementares permitidas (que não mudam o conjunto de soluções) são:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um número não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo é chegar a uma forma triangular ou reduzida onde se possam ler as incógnitas por substituição.
Agora escrevo a matriz aumentada do sistema. A ordem das colunas é x,\;y,\;z,\;w e a última coluna é o termo independente:
Expliquei: dividiu-se ambos os lados por -7. Resultado: z=\tfrac{6}{7}.
Passo 6
Agora uso a segunda linha (que é y-3z=-1) para achar y. Substituo z=\tfrac{6}{7}:
y-3\cdot\frac{6}{7}=-1.
Calculo 3\cdot\frac{6}{7}=\frac{18}{7}. Então
y-\frac{18}{7}=-1.
Escrevo -1 com denominador 7: -1=-\frac{7}{7}. Assim
y=\!-\frac{7}{7}+\frac{18}{7}=\frac{11}{7}.
Portanto y=\tfrac{11}{7}.
Passo 7
Observação importante: nas linhas 2 e 3 o coeficiente de w é 0. Isso significa que w não foi determinado por essas equações; o sistema tem mais incógnitas que equações e portanto teremos uma família infinita de soluções paramétricas. Em provas costuma-se escolher uma incógnita livre (parâmetro). Vou escolher
w=t,\quad t\in\mathbb{R}.
Passo 8
Agora volto à primeira equação para determinar x. A primeira equação é x+2y+3z+w=8. Substituo y=\tfrac{11}{7}, z=\tfrac{6}{7} e w=t:
Isto é uma família infinita de soluções parametrizada por t. Dica de prova: se quiser, pode escolher outro parâmetro (por exemplo t=-s) — é equivalente. Sempre verifique substituindo de volta nas equações originais para garantir que não houve erro aritmético.