3.32 O navio em A está começando a perfurar um poço de petróleo no fundo do oceano a uma profundidade de 1524 m . Sabendo que o topo da broca de aço (
) de 203 mm de diâmetro dá duas voltas completas até que a broca em
comece a girar, determine a tensāo de cisalhamento máxima provocada na broca pela torção.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei o valor da profundidade na imagem fornecida).
- O que o enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima provocada na broca pela torção.
- Informações fornecidas:
- Profundidade do poço (comprimento do mastro/haste):
(valor obtido da imagem). - Diâmetro da broca (haste de aço):
. - Módulo de cisalhamento do aço:
- A parte superior dá duas voltas completas antes da broca em
começar a girar → ângulo de torção acumulado entre ponta e base:
- Profundidade do poço (comprimento do mastro/haste):
Passo 2
Explicação das fórmulas físicas que vou usar (a ideia física, passo a passo, tipo aula rápida).
- Para um eixo circular sólido submetido a torque
, o ângulo de torção relativo entre duas seções afastadas por um comprimento é dado por:
onde:
-
é o ângulo de torção em radianos, -
é o torque aplicado (em N·m), -
é o módulo de cisalhamento (em Pa), -
é o momento polar de inércia da seção (em m^4). -
Para uma seção circular maciça de diâmetro
, o momento polar é
- A tensão de cisalhamento máxima (na superfície) devido ao torque
é
onde
é o raio da seção,
.
Vou explicar as variáveis de forma simples:
mede “resistência geométrica” da seção à torção;
mede a rigidez do material;
aumenta quando aplicamos torque por comprimento
.
Passo 3
Derivar uma expressão prática para
que permita calcular direto a partir de
, sem precisar primeiro achar
.
- Da fórmula do ângulo de torção isolamos
:
- Substituindo em
obtemos (as cancelam)
Essa é uma fórmula muito útil: relaciona diretamente o módulo
, o ângulo de torção
, o raio
e o comprimento
.
Passo 4
Conversões e preparação dos valores numéricos (tudo em unidades SI).
- Raio:
- Ângulo de torção:
- Módulo de cisalhamento:
- Comprimento:
Passo 5
Cálculo direto da tensão usando
. Vou fazer as contas passo a passo.
- Primeiro o produto
:
Calculemos numericamente (mantendo etapas):
(esse é o numerador antes de dividir por
).
- Agora dividir por
:
(para evitar confusão: o valor acima vem da operação direta; arredondando convenientemente obtemos cerca de
.)
Passo 6
Verificação alternativa (calcular
, obter
e então
) — serve como checagem e também como demonstração de outro caminho.
- Calcular
:
- Torque correspondente de acordo com
:
- Então
o mesmo resultado obtido antes (boa checagem).
Passo 7
Interpretação final e incentivo rápido.
- A tensão de cisalhamento máxima na broca devido à torção acumulada de duas voltas é cerca de
. - Isso significa que, para avaliar segurança, compare este valor com a resistência ao cisalhamento do aço usado (ou com critérios de escoamento cortante). Mas para o cálculo de torsão solicitado, o valor acima é a resposta numérica pedida.