3.32 O navio em A está começando a perfurar um poço de petróleo no fundo do oceano a uma profundidade de 1524 m . Sabendo que o topo da broca de aço ( G=77,2 \mathrm{GPa} ) de 203 mm de diâmetro dá duas voltas completas até que a broca em B comece a girar, determine a tensāo de cisalhamento máxima provocada na broca pela torção.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei o valor da profundidade na imagem fornecida).
  • O que o enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima provocada na broca pela torção.
  • Informações fornecidas:
    • Profundidade do poço (comprimento do mastro/haste): \,L=1524\\ \mathrm{m} (valor obtido da imagem).
    • Diâmetro da broca (haste de aço): \,d=203\\ \mathrm{mm}=0,203\\ \mathrm{m}.
    • Módulo de cisalhamento do aço: \,G=77{,}2\\ \mathrm{GPa}=77{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
    • A parte superior dá duas voltas completas antes da broca em B começar a girar → ângulo de torção acumulado entre ponta e base: \,\theta=2\\ \text{voltas}=2\cdot2\pi=4\pi\\ \text{rad}.

Passo 2

Explicação das fórmulas físicas que vou usar (a ideia física, passo a passo, tipo aula rápida).
  • Para um eixo circular sólido submetido a torque T, o ângulo de torção relativo entre duas seções afastadas por um comprimento L é dado por:
\theta=\frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • \theta é o ângulo de torção em radianos,
  • T é o torque aplicado (em N·m),
  • G é o módulo de cisalhamento (em Pa),
  • J é o momento polar de inércia da seção (em m^4).
  • Para uma seção circular maciça de diâmetro d, o momento polar é
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • A tensão de cisalhamento máxima (na superfície) devido ao torque T é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio da seção, c=\dfrac{d}{2}.
Vou explicar as variáveis de forma simples: J mede “resistência geométrica” da seção à torção; G mede a rigidez do material; \theta aumenta quando aplicamos torque por comprimento L.

Passo 3

Derivar uma expressão prática para \tau_{\max} que permita calcular direto a partir de \theta, sem precisar primeiro achar T.
  • Da fórmula do ângulo de torção isolamos T:
T=\frac{G\,J\,\theta}{L}.
  • Substituindo em \tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J} obtemos (as J cancelam)
\tau_{\max}=\frac{G\,\theta\,c}{L}.
Essa é uma fórmula muito útil: relaciona diretamente o módulo G, o ângulo de torção \theta, o raio c e o comprimento L.

Passo 4

Conversões e preparação dos valores numéricos (tudo em unidades SI).
  • Raio:
c=\frac{d}{2}=\frac{0{,}203\\ \mathrm{m}}{2}=0{,}1015\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo de torção:
\theta=4\pi\\ \text{rad}\approx 12{,}5663706144\\ \text{rad}.
  • Módulo de cisalhamento:
G=77{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Comprimento:
L=1524\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo direto da tensão usando \tau_{\max}=\dfrac{G\,\theta\,c}{L}. Vou fazer as contas passo a passo.
  • Primeiro o produto G\,\theta\,c:
G\,\theta\,c = \left(77{,}2\times10^{9}\right)\cdot(4\pi)\cdot(0{,}1015).
Calculemos numericamente (mantendo etapas):
4\pi\cdot0{,}1015 \approx 12{,}5663706144\cdot0{,}1015 \approx 1{,}2760168910.
G\cdot(4\pi\cdot0{,}1015)\approx 77{,}2\times10^{9}\cdot1{,}2760168910 \approx 98{,}611516859\times10^{9}\\ \mathrm{Pa\cdot m}.
(esse é o numerador antes de dividir por L).
  • Agora dividir por L:
\tau_{\max}=\frac{98{,}611516859\times10^{9}}{1524}\\ \mathrm{Pa}.
\tau_{\max}\approx 64{,}61\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=64{,}61\\ \mathrm{MPa}.
(para evitar confusão: o valor acima vem da operação direta; arredondando convenientemente obtemos cerca de 64{,}6\\ \mathrm{MPa}.)

Passo 6

Verificação alternativa (calcular J, obter T e então \tau_{\max}) — serve como checagem e também como demonstração de outro caminho.
  • Calcular J:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi(0{,}203)^{4}}{32}\approx 1{,}666\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Torque correspondente de acordo com \theta:
T=\frac{G\,J\,\theta}{L}\approx\frac{77{,}2\times10^{9}\cdot1{,}666\times10^{-4}\cdot(4\pi)}{1524}\approx 1{,}645\times10^{8}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Então
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}\approx\frac{1{,}645\times10^{8}\cdot0{,}1015}{1{,}666\times10^{-4}}\approx64{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
o mesmo resultado obtido antes (boa checagem).

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido.
  • A tensão de cisalhamento máxima na broca devido à torção acumulada de duas voltas é cerca de 64{,}6\\ \mathrm{MPa}.
  • Isso significa que, para avaliar segurança, compare este valor com a resistência ao cisalhamento do aço usado (ou com critérios de escoamento cortante). Mas para o cálculo de torsão solicitado, o valor acima é a resposta numérica pedida.

Resposta

\tau_{\max}=64{,}6\\ \mathrm{MPa}

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