3.31 Determine o maior diâmetro possível para uma barra de aço com 3,0 m de comprimento (
), se a barra deve ser girada em
sem exceder a tensão de cisalhamento de 80 MPa .
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior diâmetro possível de uma barra circular de aço, de comprimento
, tal que ao girá‑la em
a tensão de cisalhamento não exceda
. Dados fornecidos:
- Comprimento:
. - Módulo de cisalhamento:
. - Rotação permitida:
. - Tensão de cisalhamento máxima admissível:
.
O que se quer: o maior diâmetro
da seção circular (ou seja, a maior
tal que a condição de tensão e rotação seja satisfeita).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarzinho).
- Quando um eixo circular é submetido a um torque
, a tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio externo) é dada por
onde:
-
é o torque aplicado (em N·m), -
é o raio externo da seção (para diâmetro , ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal. -
Para uma seção circular sólida, o momento polar de inércia vale
- O ângulo de torção (rotação ao longo do comprimento) é dado por
onde:
-
é o ângulo de torção em radianos, -
é o comprimento do eixo, -
é o módulo de cisalhamento.
Agora vamos eliminar
entre as duas fórmulas para relacionar
,
,
,
e
.
Da primeira fórmula:
Substituindo
e
:
Substituindo esse
na expressão do ângulo:
Simplificando (cancelam
e sobra
, e
):
Essa fórmula é muito prática: ela diz que, para uma barra circular sólida, a rotação
é inversamente proporcional ao diâmetro
quando a tensão máxima está limitada.
Isolando
:
Passo 3
Converter dados para unidades SI e
para radianos (tudo em notação matemática).
-
. -
. -
. -
.
Agora substituímos na fórmula
Passo 4
Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas).
Substituindo numericamente:
Substituindo numericamente:
Reorganizando a fração para simplificar:
Colocando os fatores numéricos juntos:
Agora calcular numericamente:
Portanto
Passo 5
Interpretação curta e incentivo: isso significa que, se a barra tiver diâmetro maior que aproximadamente
, a rotação de
produziria tensão de cisalhamento menor que
. Dá para arredondar para
como valor comercial prático, mas o valor calculado é cerca de
. Você está indo bem — matemática de torção costuma gerar essas fórmulas diretas e fáceis de aplicar na prova.