3.31 Determine o maior diâmetro possível para uma barra de aço com 3,0 m de comprimento ( G=77,2 \mathrm{GPa} ), se a barra deve ser girada em 30^{\circ} sem exceder a tensão de cisalhamento de 80 MPa .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior diâmetro possível de uma barra circular de aço, de comprimento L, tal que ao girá‑la em 30^\circ a tensão de cisalhamento não exceda 80\\ \mathrm{MPa}. Dados fornecidos:
  • Comprimento: L=3,0\\ \mathrm{m}.
  • Módulo de cisalhamento: G=77{,}2\\ \mathrm{GPa}.
  • Rotação permitida: \;30^\circ.
  • Tensão de cisalhamento máxima admissível: \tau_{\max}=80\\ \mathrm{MPa}.
O que se quer: o maior diâmetro d da seção circular (ou seja, a maior d tal que a condição de tensão e rotação seja satisfeita).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarzinho).
  • Quando um eixo circular é submetido a um torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio externo) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque aplicado (em N·m),
  • c é o raio externo da seção (para diâmetro d, c=\dfrac{d}{2}),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal.
  • Para uma seção circular sólida, o momento polar de inércia vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • O ângulo de torção (rotação ao longo do comprimento) é dado por
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • \varphi é o ângulo de torção em radianos,
  • L é o comprimento do eixo,
  • G é o módulo de cisalhamento.
Agora vamos eliminar T entre as duas fórmulas para relacionar \varphi, \tau_{\max}, d, L e G.
Da primeira fórmula:
T=\frac{\tau_{\max} J}{c}.
Substituindo c=\dfrac{d}{2} e J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}:
T=\frac{\tau_{\max}\,\left(\dfrac{\pi d^{4}}{32}\right)}{d/2} =\frac{\pi \tau_{\max} d^{3}}{16}.
Substituindo esse T na expressão do ângulo:
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J} =\frac{\left(\dfrac{\pi \tau_{\max} d^{3}}{16}\right)L}{G\left(\dfrac{\pi d^{4}}{32}\right)}.
Simplificando (cancelam \pi e sobra d^{3}/d^{4}=1/d, e \dfrac{1/16}{1/32}=2):
\varphi=\frac{2\,\tau_{\max}\,L}{G\,d}.
Essa fórmula é muito prática: ela diz que, para uma barra circular sólida, a rotação \varphi é inversamente proporcional ao diâmetro d quando a tensão máxima está limitada.
Isolando d:
d=\frac{2\,\tau_{\max}\,L}{G\,\varphi}.

Passo 3

Converter dados para unidades SI e \varphi para radianos (tudo em notação matemática).
  • \tau_{\max}=80\\ \mathrm{MPa}=80\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • G=77{,}2\\ \mathrm{GPa}=77{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • L=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • \varphi=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}\\ \text{rad}.
Agora substituímos na fórmula
d=\frac{2\,\tau_{\max}\,L}{G\,\varphi}.

Passo 4

Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas).
Substituindo numericamente:
d=\frac{2\cdot\left(80\times10^{6}\right)\cdot 3{,}0}{\left(77{,}2\times10^{9}\right)\cdot\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}.
Reorganizando a fração para simplificar:
d=\frac{2\cdot80\cdot3{,}0\times10^{6}}{77{,}2\times10^{9}\cdot\left(\dfrac{\pi}{6}\right)} =\frac{480\times10^{6}}{77{,}2\times10^{9}\cdot\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}.
Colocando os fatores numéricos juntos:
d=\frac{2880}{77{,}2\pi}\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Agora calcular numericamente:
77{,}2\pi\approx 77{,}2\times3{,}14159265\approx242{,}531,
\frac{2880}{242{,}531}\approx11{,}872\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Portanto
d\approx0{,}01187\\ \mathrm{m}=11{,}87\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: isso significa que, se a barra tiver diâmetro maior que aproximadamente 11{,}9\\ \mathrm{mm}, a rotação de 30^\circ produziria tensão de cisalhamento menor que 80\\ \mathrm{MPa}. Dá para arredondar para 12\\ \mathrm{mm} como valor comercial prático, mas o valor calculado é cerca de 11{,}87\\ \mathrm{mm}. Você está indo bem — matemática de torção costuma gerar essas fórmulas diretas e fáceis de aplicar na prova.

Resposta

d\approx0{,}01187\\ \mathrm{m}=11{,}87\\ \mathrm{mm}

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