P10.22 As componentes da deformação no ponto A sobre o apoio são \epsilon_{x}=300\left(10^{-6}\right), \epsilon_{y}=550\left(10^{-6}\right), \gamma_{x y}=-650\left(10^{-6}\right), \epsilon_{z}=0. Determine (a) as deformações principais em A no plano x-y, (b) a deformaçāo por cisalhamento máxima no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta.
Passo 1
O enunciado dá as componentes da deformação no ponto A (unidades: microstrain, isto é 10^{-6}) e pede três coisas. Dados fornecidos:
\epsilon_{x}=300\left(10^{-6}\right).
\epsilon_{y}=550\left(10^{-6}\right).
\gamma_{xy}=-650\left(10^{-6}\right) (é a deformação de cisalhamento de engenharia).
\epsilon_{z}=0.
Perguntas:
(a) Determinar as deformações principais em A no plano x\!-\!y.
(b) Determinar a deformação por cisalhamento máxima no plano x\!-\!y.
(c) Determinar a deformação por cisalhamento máxima absoluta (considerando as três direções).
Passo 2
Breve aula: definição e fórmulas úteis (muito importantes para a prova).
A “deformação normal” em x é \epsilon_x; em y é \epsilon_y. A “deformação de cisalhamento de engenharia” no plano xy é \gamma_{xy}. Atenção: \gamma_{xy} é o que normalmente se chama de cisalhamento de engenharia (não confundir com \epsilon_{xy} do tensor, que seria \epsilon_{xy}=\gamma_{xy}/2).
Para transformar deformações (ou achar as principais) no plano x\!-\!y usamos as fórmulas de transformação de tensões/deformações. As deformações principais no plano x\!-\!y (os autovalores do tensor 2×2) são dadas por
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} é a média das deformações normais (pressione mental: “o centro”).
A raiz \sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2} mede a diferença máxima entre essas deformações — o “raio” que separa as duas principais.
A deformação por cisalhamento máxima no plano x\!-\!y (a componente de cisalhamento de engenharia que atinge o maior valor ao rotacionar o referencial dentro do plano) tem magnitude
Observação: note que \gamma_{xy,\max}=\epsilon_1-\epsilon_2 (diferença entre as deformações principais).
Para a máxima deformação por cisalhamento absoluta (considerando as três direções), primeiro obtemos as três deformações principais do estado tridimensional. No caso dado, o tensor de deformação é bloco-diagonal porque não há cisalhamento com z:
As três deformações principais são então \epsilon_1,\epsilon_2 (as do plano xy que já calculamos) e \epsilon_3=\epsilon_z. A máxima deformação por cisalhamento absoluta (engenharia) é o maior valor entre |\epsilon_i-\epsilon_j| para i\neq j:
Vamos calcular passo a passo trabalhando nas unidades “microstrain” (ou seja, tratamos os números 300,550,-650 e no final multiplicamos por 10^{-6}) — isso facilita as contas sem perder a unidade.
Comentário didático: \epsilon_1 é a maior deformação normal (direção principal de extensão), \epsilon_2 é a menor no plano (direção principal de menor extensão).
Passo 5
(a) Resposta (a) já obtida acima: as deformações principais no plano xy são \epsilon_1 e \epsilon_2 calculadas.
(b) Deformação por cisalhamento máxima no plano x\!-\!y.
Intuição: isto corresponde ao “gap” entre a maior deformação principal e a terceira (neste caso \epsilon_z=0), ou seja, entre a maior extensão e a direção com zero deformação.