P10.22 As componentes da deformação no ponto A sobre o apoio são \epsilon_{x}=300\left(10^{-6}\right), \epsilon_{y}=550\left(10^{-6}\right), \gamma_{x y}=-650\left(10^{-6}\right), \epsilon_{z}=0. Determine (a) as deformações principais em A no plano x-y, (b) a deformaçāo por cisalhamento máxima no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta.

Passo 1

O enunciado dá as componentes da deformação no ponto A (unidades: microstrain, isto é 10^{-6}) e pede três coisas. Dados fornecidos:
  • \epsilon_{x}=300\left(10^{-6}\right).
  • \epsilon_{y}=550\left(10^{-6}\right).
  • \gamma_{xy}=-650\left(10^{-6}\right) (é a deformação de cisalhamento de engenharia).
  • \epsilon_{z}=0.
Perguntas:
(a) Determinar as deformações principais em A no plano x\!-\!y.
(b) Determinar a deformação por cisalhamento máxima no plano x\!-\!y.
(c) Determinar a deformação por cisalhamento máxima absoluta (considerando as três direções).

Passo 2

Breve aula: definição e fórmulas úteis (muito importantes para a prova).
  • A “deformação normal” em x é \epsilon_x; em y é \epsilon_y. A “deformação de cisalhamento de engenharia” no plano xy é \gamma_{xy}. Atenção: \gamma_{xy} é o que normalmente se chama de cisalhamento de engenharia (não confundir com \epsilon_{xy} do tensor, que seria \epsilon_{xy}=\gamma_{xy}/2).
  • Para transformar deformações (ou achar as principais) no plano x\!-\!y usamos as fórmulas de transformação de tensões/deformações. As deformações principais no plano x\!-\!y (os autovalores do tensor 2×2) são dadas por
\epsilon_{1,2}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}.
Explicando cada termo:
  • \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} é a média das deformações normais (pressione mental: “o centro”).
  • A raiz \sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2} mede a diferença máxima entre essas deformações — o “raio” que separa as duas principais.
  • A deformação por cisalhamento máxima no plano x\!-\!y (a componente de cisalhamento de engenharia que atinge o maior valor ao rotacionar o referencial dentro do plano) tem magnitude
\gamma_{xy,\max}=\sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}.
Observação: note que \gamma_{xy,\max}=\epsilon_1-\epsilon_2 (diferença entre as deformações principais).
  • Para a máxima deformação por cisalhamento absoluta (considerando as três direções), primeiro obtemos as três deformações principais do estado tridimensional. No caso dado, o tensor de deformação é bloco-diagonal porque não há cisalhamento com z:
\boldsymbol{\epsilon}=\begin{pmatrix} \epsilon_x & \tfrac{\gamma_{xy}}{2} & 0\\[4pt] \tfrac{\gamma_{xy}}{2} & \epsilon_y & 0\\[4pt] 0 & 0 & \epsilon_z \end{pmatrix}.
As três deformações principais são então \epsilon_1,\epsilon_2 (as do plano xy que já calculamos) e \epsilon_3=\epsilon_z. A máxima deformação por cisalhamento absoluta (engenharia) é o maior valor entre |\epsilon_i-\epsilon_j| para i\neq j:
\gamma_{\max,\text{abs}}=\max\big\{|\epsilon_1-\epsilon_2|,\;|\epsilon_1-\epsilon_3|,\;|\epsilon_2-\epsilon_3|\big\}.]

Passo 3

Vamos calcular passo a passo trabalhando nas unidades “microstrain” (ou seja, tratamos os números 300,550,-650 e no final multiplicamos por 10^{-6}) — isso facilita as contas sem perder a unidade.
  1. Média das deformações:
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=\frac{300+550}{2}= \frac{850}{2}=425\quad(\text{microstrain}).
  1. Argumento dentro da raiz:
(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2 = (300-550)^2+(-650)^2 = (-250)^2+(-650)^2.
Calcule:
(-250)^2=62\,500,\qquad (-650)^2=422\,500.
Somando:
62\,500+422\,500=485\,000.
  1. Raiz:
\sqrt{485\,000}\approx 696{,}42\quad(\text{microstrain}).
  1. Metade da raiz (para colocar na fórmula das principais):
\frac{1}{2}\sqrt{485\,000}\approx 348{,}21\quad(\text{microstrain}).

Passo 4

Agora calculamos as deformações principais no plano x\!-\!y usando a fórmula do Passo 2 e os valores do Passo 3.
\epsilon_1 = 425 + 348{,}21 = 773{,}21\quad(\text{microstrain}),
\epsilon_2 = 425 - 348{,}21 = 76{,}79\quad(\text{microstrain}).
Convertendo para notação com 10^{-6}:
\epsilon_1 \approx 773{,}21\times10^{-6},\qquad \epsilon_2 \approx 76{,}79\times10^{-6}.
Comentário didático: \epsilon_1 é a maior deformação normal (direção principal de extensão), \epsilon_2 é a menor no plano (direção principal de menor extensão).

Passo 5

(a) Resposta (a) já obtida acima: as deformações principais no plano xy são \epsilon_1 e \epsilon_2 calculadas.
(b) Deformação por cisalhamento máxima no plano x\!-\!y.
Recordando do passo 2,
\gamma_{xy,\max}=\sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}=\sqrt{485\,000}\approx 696{,}42\quad(\text{microstrain}).
Em notação com 10^{-6}:
\gamma_{xy,\max}\approx 696{,}42\times10^{-6}.
Observação: perceba que \gamma_{xy,\max}=\epsilon_1-\epsilon_2 (confirme trocando os valores: 773{,}21-76{,}79=696{,}42).

Passo 6

(c) Deformação por cisalhamento máxima absoluta (3D).
As três deformações principais do problema são:
\epsilon_1\approx 773{,}21\times10^{-6},\qquad \epsilon_2\approx 76{,}79\times10^{-6},\qquad \epsilon_3=\epsilon_z=0.
Calculamos as diferenças absolutas:
|\epsilon_1-\epsilon_2|\approx 696{,}42\times10^{-6},
|\epsilon_1-\epsilon_3|\approx 773{,}21\times10^{-6},
|\epsilon_2-\epsilon_3|\approx 76{,}79\times10^{-6}.
A maior delas é 773{,}21\times10^{-6}. Portanto a deformação por cisalhamento máxima absoluta (engenharia) é
\gamma_{\max,\text{abs}}\approx 773{,}21\times10^{-6}.
Intuição: isto corresponde ao “gap” entre a maior deformação principal e a terceira (neste caso \epsilon_z=0), ou seja, entre a maior extensão e a direção com zero deformação.

Resposta

(a) \epsilon_1\approx 773{,}21\times10^{-6},\quad \epsilon_2\approx 76{,}79\times10^{-6}
(b) \gamma_{xy,\max}\approx 696{,}42\times10^{-6}
(c) \gamma_{\max,\text{abs}}\approx 773{,}21\times10^{-6}

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