5)

  1. (32,5 pontos) Uma gotícula de detergente líquido, caindo através do ar em uma torre de secagem por aspersão (spray dryer), tem seu diâmetro reduzido à medida que água evapora de sua superficie. Se admitirmos que a temperatura do líquido dentro da gotícula permaneça constante e igual a 290 K e que o ar de secagem esteja a 310 K , determine a concentração do vapor de água no meio de secagem ( C_{A, \infty} ). A pressão total do sistema é 1,0 \mathrm{~atm} e a temperatura média do gás é 300 K .
Dados potencialmente úteis: viscosidade cinemática do ar a 300 \mathrm{~K}, v_{\mathrm{ar}}=1,5689 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}; difusividade térmica do ar a 300 \mathrm{~K}, \alpha=2,2156 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}; difusividade mássica da água no ar a 300 \mathrm{K}, \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=2,63 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}; densidade do ar a 300 \mathrm{~K}, \rho_{\mathrm{ar}}=1,177 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; condutividade térmica do ar a 300 \mathrm{~K}, \mathrm{~K}_{\mathrm{ar}}=2,624 \times 10^{-2} \mathrm{~J} /(\mathrm{m} . \mathrm{s} . \mathrm{K}); capacidade calorifica do ar a 300 \mathrm{~K}, \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{ar}}=1006 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}); calor latente de vaporização da água a \mathrm{T}_{\mathrm{s}}, \lambda_{\mathrm{A}}=2461 \mathrm{~J} / \mathrm{g}; pressão de vapor da água a \mathrm{T}_{\mathrm{s}}, \mathrm{P}_{\mathrm{A}}=1,94 \times 10^{3} \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações ele fornece.
  • Pedido: determinar a concentração do vapor de água no meio de secagem, isto é C_{A,\infty} (unidade de massa por volume, \mathrm{kg/m^{3}}), sabendo que a gotícula tem temperatura constante T_s=290\\ \mathrm{K} e o ar de secagem está a 310\\ \mathrm{K}. A pressão total é 1{,}0\\ \mathrm{atm} e as propriedades do ar/difusividade são dadas para 300\\ \mathrm{K} (usar esses valores).
  • Dados numéricos fornecidos (peguei-os do enunciado):
    • temperatura do líquido (superfície da gotícula): T_s=290\\ \mathrm{K};
    • temperatura do ar (meio de secagem): T_{\infty}=310\\ \mathrm{K};
    • pressão de vapor da água à T_s: P_{A,s}=1{,}94\times10^{3}\\ \mathrm{Pa};
    • viscosidade cinemática do ar a 300\\ \mathrm{K}: \nu_{\text{ar}}=1{,}5689\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s};
    • difusividade térmica do ar a 300\\ \mathrm{K}: \alpha=2{,}2156\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s};
    • difusividade mássica da água no ar a 300\\ \mathrm{K}: D_{AB}=2{,}63\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s};
    • densidade do ar a 300\\ \mathrm{K}: \rho_{\text{ar}}=1{,}177\\ \mathrm{kg/m^{3}};
    • condutividade térmica do ar a 300\\ \mathrm{K}: k_{\text{ar}}=2{,}624\times10^{-2}\\ \mathrm{J/(m\cdot s\cdot K)};
    • capacidade calorífica do ar a 300\\ \mathrm{K}: C_{p,\text{ar}}=1006\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)};
    • calor latente de vaporização da água à T_s: \lambda_A=2461\\ \mathrm{J/g} (atenção: dado em \mathrm{J/g});
    • constantes físicas usadas (não dadas explicitamente no enunciado, mas necessárias e padronizadas):
      • constante universal dos gases: R_u=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)};
      • massa molar da água: M_A=0{,}018015\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 2

Escolha do método e ideia física (explicação didática).
  • Quando uma gotícula evapora, duas coisas acontecem ao mesmo tempo: (i) vapor é gerado na superfície e transportado para o ar por transferência mássica convectiva; (ii) para evaporar, é necessário fornecer calor latente, que chega por transferência de calor convectiva do ar para a superfície. Em regime estacionário e para uma gotícula pequena, a taxa de massa evaporada por unidade de área é dada pela diferença de concentração entre superfície e meio multiplicada por um coeficiente de transferência mássica. A energia fornecida pelo fluxo de calor convectivo deve balancear o calor consumido pela evaporação.
  • Portanto usamos duas expressões (uma para massa e outra para energia) e as relacionamos:
    1. Lei de resfriamento/massa (film theory): \dot m_A'' = k_c\,(C_{A,s}-C_{A,\infty}), onde \dot m_A'' é fluxo mássico de A por área ( \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}), k_c é o coeficiente de transferência mássica ( \mathrm{m/s}), C_{A,s} é concentração de vapor na superfície e C_{A,\infty} no meio.
    2. Balanço de energia na superfície (todo calor convectivo usado para vaporização): q'' = \dot m_A''\,\lambda_A, onde q'' = h\,(T_{\infty}-T_s) e h é o coeficiente de transferência de calor convectivo ( \mathrm{W/(m^2\cdot K)}).
  • Combinando, obtemos h\,(T_{\infty}-T_s) = k_c\,(C_{A,s}-C_{A,\infty})\,\lambda_A.Isolando C_{A,\infty} ficou C_{A,\infty} = C_{A,s} - \frac{h}{k_c}\,\frac{T_{\infty}-T_s}{\lambda_A}.
  • Agora precisamos relacionar h e k_c. Em convecção externa sobre esferas é comum usar a analogia de Chilton–Colburn (ou j-factors), que dá igualdade entre os fatores de transporte convectivo de calor e massa. A igualdade dos j-factors implica, para coeficientes locais médios: \frac{Nu}{Re\,Pr^{1/3}}=\frac{Sh}{Re\,Sc^{1/3}}que leva a Nu = Sh\left(\frac{Pr}{Sc}\right)^{1/3}.Usando definições h = \dfrac{Nu\,k}{d} e k_c = \dfrac{Sh\,D_{AB}}{d} e lembrando que \alpha = \dfrac{k}{\rho C_p}, ao eliminar Nu e Sh obtém-se a relação útil (derivação abaixo é técnica, mas a versão final é o que usamos): \frac{h}{\rho C_p} = k_c\,Le^{2/3},onde o número de Lewis é \displaystyle Le=\frac{\alpha}{D_{AB}}.
  • Essa relação reorganizada fornece: \frac{h}{k_c} = \rho C_p\,Le^{2/3}.Substituindo na expressão de C_{A,\infty} resulta em C_{A,\infty} = C_{A,s} - \rho C_p\,Le^{2/3}\,\frac{T_{\infty}-T_s}{\lambda_A}.
  • Observação didática sobre variáveis:
    • C_{A} é concentração mássica do vapor de água ( \mathrm{kg/m^{3}});
    • \rho é densidade do gás (aqui \rho_{\text{ar}});
    • C_p é capacidade calorífica a pressão constante do gás (aqui C_{p,\text{ar}});
    • \alpha é difusividade térmica do ar; D_{AB} é difusividade mássica da água no ar;
    • \lambda_A é calor latente por unidade de massa ( \mathrm{J/kg}); atenção às unidades dadas.

Passo 3

Calcular C_{A,s} (concentração de vapor na superfície) usando a pressão de vapor dada.
  • Usamos a lei dos gases ideais para transformação pressão → concentração mássica: C_{A,s} = \frac{P_{A,s}}{R_u T_s}\,M_A,onde M_A é massa molar da água.
  • Substituindo números (peguei P_{A,s} do enunciado e R_u,M_A como constantes): C_{A,s} = \frac{1{,}94\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}}{8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\cdot 290\\ \mathrm{K}}\cdot 0{,}018015\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Fazer contas passo a passo: \text{denominador} = 8{,}314\times 290 = 2411{,}06.
\text{numerador} = 1{,}94\times10^{3}\times 0{,}018015 = 34{,}9491.
C_{A,s} = \frac{34{,}9491}{2411{,}06} \approx 0{,}01449\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 4

Calcular o número de Lewis e o fator \rho C_p Le^{2/3}.
  • Lewis: Le=\frac{\alpha}{D_{AB}} = \frac{2{,}2156\times10^{-5}}{2{,}63\times10^{-5}}.
Le \approx 0{,}8429.
  • Agora Le^{2/3}: computei passo a passo (usar logaritmo ou calculadora mental aproximada): Le^{2/3} \approx 0{,}8429^{2/3} \approx 0{,}8926.
  • Calcular \rho C_p Le^{2/3} usando \rho_{\text{ar}}=1{,}177\\ \mathrm{kg/m^{3}} e C_{p,\text{ar}}=1006\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}: \rho C_p = 1{,}177\times1006 = 1184{,}062\\ \mathrm{J/(m^{3}\cdot K)}.
\rho C_p Le^{2/3} = 1184{,}062\times0{,}8926 \approx 1056{,}9\\ \mathrm{J/(m^{3}\cdot K)}.
(unidade: \mathrm{(kg/m^3)\cdot (J/(kg\cdot K))} = \mathrm{J/(m^3\cdot K)}, que ao dividir por \lambda dará \mathrm{kg/m^3} quando multiplicado por \Delta T.)

Passo 5

Converter \lambda_A para unidades \mathrm{J/kg} e montar a expressão final.
  • O enunciado deu \lambda_A=2461\\ \mathrm{J/g}. Converter para \mathrm{J/kg}: \lambda_A = 2461\\ \mathrm{J/g} = 2461\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg} = 2{,}461\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
  • A diferença de temperatura: T_{\infty}-T_s = 310 - 290 = 20\\ \mathrm{K}.
  • Substituir na fórmula obtida no Passo 2: C_{A,\infty} = C_{A,s} - \rho C_p Le^{2/3}\,\frac{T_{\infty}-T_s}{\lambda_A}.
  • Calcular o termo subtraído: \rho C_p Le^{2/3}\,\frac{T_{\infty}-T_s}{\lambda_A} = \frac{1056{,}9\times 20}{2{,}461\times10^{6}}.
= \frac{21{,}138}{2{,}461\times10^{6}} \approx 0{,}008582\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 6

Calcular C_{A,\infty} final e comentar o resultado.
  • Usando C_{A,s} do Passo 3: C_{A,\infty} = 0{,}01449 - 0{,}008582 \approx 0{,}005908\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Interpretação rápida: esse valor é a concentração mássica de vapor de água no ar distante da gotícula necessária para que o fluxo de calor convectivo (provido pelo ar a 310\\ \mathrm{K}) balanceie a evaporação à superfície a 290\\ \mathrm{K}, considerando a analogia de calor-massa e as propriedades fornecidas.

Resposta

C_{A,\infty}=0{,}00591\\ \mathrm{kg/m^{3}}

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