5)
- (32,5 pontos) Uma gotícula de detergente líquido, caindo através do ar em uma torre de secagem por aspersão (spray dryer), tem seu diâmetro reduzido à medida que água evapora de sua superficie. Se admitirmos que a temperatura do líquido dentro da gotícula permaneça constante e igual a 290 K e que o ar de secagem esteja a 310 K , determine a concentração do vapor de água no meio de secagem (
). A pressão total do sistema é
e a temperatura média do gás é 300 K .
Dados potencialmente úteis: viscosidade cinemática do ar a
; difusividade térmica do ar a
; difusividade mássica da água no ar a 300
; densidade do ar a
; condutividade térmica do ar a
; capacidade calorifica do ar a
; calor latente de vaporização da água a
; pressão de vapor da água a
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações ele fornece.
- Pedido: determinar a concentração do vapor de água no meio de secagem, isto é
(unidade de massa por volume, ), sabendo que a gotícula tem temperatura constante e o ar de secagem está a . A pressão total é e as propriedades do ar/difusividade são dadas para (usar esses valores). - Dados numéricos fornecidos (peguei-os do enunciado):
- temperatura do líquido (superfície da gotícula):
; - temperatura do ar (meio de secagem):
; - pressão de vapor da água à
: ; - viscosidade cinemática do ar a
: ; - difusividade térmica do ar a
: ; - difusividade mássica da água no ar a
: ; - densidade do ar a
: ; - condutividade térmica do ar a
: ; - capacidade calorífica do ar a
: ; - calor latente de vaporização da água à
: (atenção: dado em ); - constantes físicas usadas (não dadas explicitamente no enunciado, mas necessárias e padronizadas):
- constante universal dos gases:
; - massa molar da água:
.
- constante universal dos gases:
- temperatura do líquido (superfície da gotícula):
Passo 2
Escolha do método e ideia física (explicação didática).
- Quando uma gotícula evapora, duas coisas acontecem ao mesmo tempo: (i) vapor é gerado na superfície e transportado para o ar por transferência mássica convectiva; (ii) para evaporar, é necessário fornecer calor latente, que chega por transferência de calor convectiva do ar para a superfície. Em regime estacionário e para uma gotícula pequena, a taxa de massa evaporada por unidade de área é dada pela diferença de concentração entre superfície e meio multiplicada por um coeficiente de transferência mássica. A energia fornecida pelo fluxo de calor convectivo deve balancear o calor consumido pela evaporação.
- Portanto usamos duas expressões (uma para massa e outra para energia) e as relacionamos:
- Lei de resfriamento/massa (film theory):
, onde é fluxo mássico de A por área ( ), é o coeficiente de transferência mássica ( ), é concentração de vapor na superfície e no meio. - Balanço de energia na superfície (todo calor convectivo usado para vaporização):
, onde e é o coeficiente de transferência de calor convectivo ( ).
- Lei de resfriamento/massa (film theory):
- Combinando, obtemos
Isolando ficou - Agora precisamos relacionar
e . Em convecção externa sobre esferas é comum usar a analogia de Chilton–Colburn (ou j-factors), que dá igualdade entre os fatores de transporte convectivo de calor e massa. A igualdade dos j-factors implica, para coeficientes locais médios: que leva a Usando definições e e lembrando que , ao eliminar e obtém-se a relação útil (derivação abaixo é técnica, mas a versão final é o que usamos): onde o número de Lewis é . - Essa relação reorganizada fornece:
Substituindo na expressão de resulta em - Observação didática sobre variáveis:
-
é concentração mássica do vapor de água ( ); -
é densidade do gás (aqui ); -
é capacidade calorífica a pressão constante do gás (aqui ); -
é difusividade térmica do ar; é difusividade mássica da água no ar; -
é calor latente por unidade de massa ( ); atenção às unidades dadas.
-
Passo 3
Calcular
(concentração de vapor na superfície) usando a pressão de vapor dada.
- Usamos a lei dos gases ideais para transformação pressão → concentração mássica:
onde é massa molar da água. - Substituindo números (peguei
do enunciado e como constantes): - Fazer contas passo a passo:
Passo 4
Calcular o número de Lewis e o fator
.
- Lewis:
- Agora
: computei passo a passo (usar logaritmo ou calculadora mental aproximada): - Calcular
usando e :
(unidade:
, que ao dividir por
dará
quando multiplicado por
.)
Passo 5
Converter
para unidades
e montar a expressão final.
- O enunciado deu
. Converter para : - A diferença de temperatura:
- Substituir na fórmula obtida no Passo 2:
- Calcular o termo subtraído:
Passo 6
Calcular
final e comentar o resultado.
- Usando
do Passo 3: - Interpretação rápida: esse valor é a concentração mássica de vapor de água no ar distante da gotícula necessária para que o fluxo de calor convectivo (provido pelo ar a
) balanceie a evaporação à superfície a , considerando a analogia de calor-massa e as propriedades fornecidas.