Considere o seguinte campo de velocidade unidimensional:
Qual é a equação que representa a linha de corrente deste escoamento? Qual é a derivada material? Grafique o vetor velocidade para
.
Qual é a equação que representa a linha de corrente deste escoamento? Qual é a derivada material? Grafique o vetor velocidade para
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade unidimensional e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Informações dadas:
- O campo de velocidade é
(em ). - Isso significa que
, , . Note que exige .
Perguntas do enunciado:
- Qual é a equação que representa a linha de corrente deste escoamento?
- Qual é a derivada material
deste campo? - Fazer um gráfico (descrever/representar) do vetor velocidade para
.
Passo 2
Definição e equação geral das linhas de corrente (explicação didática curta).
- Linha de corrente numa dada instante (streamline) é uma curva cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele instante. Para uma curva parametrizada por um parâmetro espacial
(não o tempo), a condição é que, no instante fixo, as componentes satisfazem
- Aqui essa igualdade é usada com o campo instantâneo num tempo fixo
. Não confundir com trajetórias de partículas (pathlines), que exigiriam resolver equações em função do tempo.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao campo dado (cálculo passo a passo).
- Substituindo
, , na condição das linhas de corrente obtemos
- A igualdade com
e implica que e ao longo da linha de corrente (para que as frações façam sentido a tangente não pode ter variação em nem em ). - Portanto ao longo de uma linha de corrente
é constante e é constante. Escrevendo como equações:
onde
e
são constantes que identificam cada linha de corrente (cada “faixa” horizontal no espaço).
- Uma parametrização conveniente é
com
variando ao longo do eixo
. Em outras palavras, as linhas de corrente são retas paralelas ao eixo
localizadas em alturas fixas
e profundidades
.
Passo 4
Interpretação rápida sobre dependência temporal: por ser
função de
e
, as linhas de corrente em instantes diferentes podem ter o mesmo traçado espacial (aqui não mudam, porque só dependem de
para direção) mas a velocidade ao longo delas muda com
. Isso significa: as linhas de corrente são horizontais (paralelas ao eixo
) para todo
, porém a intensidade do vetor ao longo dessas linhas varia no tempo.
Passo 5
Definição da derivada material e método de cálculo (aula curta).
- A derivada material de um campo vetorial
é a taxa de variação desse campo experimentada por uma partícula que se move com a velocidade . A fórmula é
- Aqui
é a variação local com o tempo no ponto fixo do espaço, e é o termo convectivo que aparece porque a partícula se desloca para regiões onde a velocidade pode ser diferente. Em componentes,
e analogamente para
e
.
Passo 6
Cálculo explícito das derivadas parciais necessárias (mostrar contas).
- Calcular
, , , etc.
- Para
e todas as suas derivadas parciais temporais e espaciais são zero:
Passo 7
Avaliação do termo convectivo (por que some aqui).
- O termo convectivo para a componente
é . - Substituindo:
e , então o termo convectivo é
- Logo toda a aceleração convectiva é nula neste campo porque as componentes transversais
são zero e não varia com .
Passo 8
Resultado final da derivada material (apresentação do vetor e interpretação).
- Usando
convectivo e os cálculos acima:
- Assim
- Interpretação física curta: a aceleração sentida por uma partícula vem somente da variação temporal local da velocidade (não de movimento para regiões diferentes), e tem intensidade
em . Note que a aceleração depende apenas da posição (não do tempo), curiosamente.
Passo 9
Gráfico / representação do vetor velocidade para
(como desenhar na prova e pontos exemplares).
- Para
temos
- Isso é um campo unidirecional: todas as setas apontam no sentido positivo de
. A magnitude varia com como . - Valores de referência que ajudam a desenhar:
- Como desenhar na prova: fixe várias alturas
(por exemplo ), em cada linha horizontal desenhe setas paralelas ao eixo cuja comprimento seja proporcional a . No a seta tem comprimento zero (ponto de repouso). À medida que aumenta as setas crescem seguindo a raiz quadrada. - Descrição qualitativa: um “feixe” de vetores paralelos ao eixo
com intensidade que aumenta com . (Se fosse necessário, pode-se desenhar setas com comprimentos proporcionais aos números acima.)
Resposta
Linha de corrente:
(retas paralelas ao eixo
).
Derivada material: .
Vetor velocidade em :
(setas paralelas a
, de magnitude
; exemplos:
,
,
).
Derivada material:
Vetor velocidade em