Considere o seguinte campo de velocidade unidimensional:
\vec{V}=(u, v, w)=t \sqrt{y} \vec{i}+0 \vec{j}+0 \vec{k} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Qual é a equação que representa a linha de corrente deste escoamento? Qual é a derivada material? Grafique o vetor velocidade para t=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade unidimensional e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Informações dadas:
  • O campo de velocidade é \vec{V}=(u,v,w)=t\sqrt{y}\,\vec{i}+0\,\vec{j}+0\,\vec{k} (em \mathrm{m/s}).
  • Isso significa que u=t\sqrt{y}, v=0, w=0. Note que \sqrt{y} exige y\ge 0.
Perguntas do enunciado:
  1. Qual é a equação que representa a linha de corrente deste escoamento?
  2. Qual é a derivada material \dfrac{D\vec{V}}{Dt} deste campo?
  3. Fazer um gráfico (descrever/representar) do vetor velocidade para t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Definição e equação geral das linhas de corrente (explicação didática curta).
  • Linha de corrente numa dada instante (streamline) é uma curva cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele instante. Para uma curva parametrizada por um parâmetro espacial s (não o tempo), a condição é que, no instante fixo, as componentes satisfazem
\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}.
  • Aqui essa igualdade é usada com o campo instantâneo num tempo fixo t. Não confundir com trajetórias de partículas (pathlines), que exigiriam resolver equações em função do tempo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao campo dado (cálculo passo a passo).
  • Substituindo u=t\sqrt{y}, v=0, w=0 na condição das linhas de corrente obtemos
\frac{dx}{t\sqrt{y}}=\frac{dy}{0}=\frac{dz}{0}.
  • A igualdade com \dfrac{dy}{0} e \dfrac{dz}{0} implica que dy=0 e dz=0 ao longo da linha de corrente (para que as frações façam sentido a tangente não pode ter variação em y nem em z).
  • Portanto ao longo de uma linha de corrente y é constante e z é constante. Escrevendo como equações:
y=C_1,\qquad z=C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes que identificam cada linha de corrente (cada “faixa” horizontal no espaço).
  • Uma parametrização conveniente é
\vec{r}(s)=(x(s),y(s),z(s))=(s,\,y_0,\,z_0),
com s variando ao longo do eixo x. Em outras palavras, as linhas de corrente são retas paralelas ao eixo x localizadas em alturas fixas y_0 e profundidades z_0.

Passo 4

Interpretação rápida sobre dependência temporal: por ser u função de t e y, as linhas de corrente em instantes diferentes podem ter o mesmo traçado espacial (aqui não mudam, porque só dependem de y para direção) mas a velocidade ao longo delas muda com t. Isso significa: as linhas de corrente são horizontais (paralelas ao eixo x) para todo t, porém a intensidade do vetor ao longo dessas linhas varia no tempo.

Passo 5

Definição da derivada material e método de cálculo (aula curta).
  • A derivada material de um campo vetorial \vec{V} é a taxa de variação desse campo experimentada por uma partícula que se move com a velocidade \vec{V}. A fórmula é
\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
  • Aqui \dfrac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a variação local com o tempo no ponto fixo do espaço, e (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é o termo convectivo que aparece porque a partícula se desloca para regiões onde a velocidade pode ser diferente. Em componentes,
\frac{D u}{Dt}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z},
e analogamente para v e w.

Passo 6

Cálculo explícito das derivadas parciais necessárias (mostrar contas).
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial t}, \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}, etc.
u=t\sqrt{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial t}=\sqrt{y}, \quad \frac{\partial u}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=t\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{t}{2\sqrt{y}}.
  • Para v=0 e w=0 todas as suas derivadas parciais temporais e espaciais são zero:
\frac{\partial v}{\partial t}=0,\\ \frac{\partial v}{\partial x}=0,\\ \dots\quad\text{e}\quad \frac{\partial w}{\partial t}=0,\\ \dots

Passo 7

Avaliação do termo convectivo (por que some aqui).
  • O termo convectivo para a componente u é u\partial u/\partial x+v\partial u/\partial y+w\partial u/\partial z.
  • Substituindo: \partial u/\partial x=0 e v=w=0, então o termo convectivo é
u\cdot 0 + 0\cdot\frac{t}{2\sqrt{y}} + 0\cdot 0 = 0.
  • Logo toda a aceleração convectiva é nula neste campo porque as componentes transversais v,w são zero e u não varia com x.

Passo 8

Resultado final da derivada material (apresentação do vetor e interpretação).
  • Usando \dfrac{D u}{Dt}=\dfrac{\partial u}{\partial t}+ convectivo e os cálculos acima:
\frac{D u}{Dt}=\sqrt{y},\qquad \frac{D v}{Dt}=0,\qquad \frac{D w}{Dt}=0.
  • Assim
\frac{D\vec{V}}{Dt}=\sqrt{y}\,\vec{i}+0\,\vec{j}+0\,\vec{k}.
  • Interpretação física curta: a aceleração sentida por uma partícula vem somente da variação temporal local da velocidade (não de movimento para regiões diferentes), e tem intensidade \sqrt{y} em \mathrm{m/s^2}. Note que a aceleração depende apenas da posição y (não do tempo), curiosamente.

Passo 9

Gráfico / representação do vetor velocidade para t=2\\ \mathrm{s} (como desenhar na prova e pontos exemplares).
  • Para t=2 temos
\vec{V}(x,y,z)=2\sqrt{y}\,\vec{i}.
  • Isso é um campo unidirecional: todas as setas apontam no sentido positivo de x. A magnitude varia com y como 2\sqrt{y}.
  • Valores de referência que ajudam a desenhar:
y=0 \Rightarrow u=0\\ \mathrm{m/s},\qquad y=1 \Rightarrow u=2\\ \mathrm{m/s},\qquad y=4 \Rightarrow u=4\\ \mathrm{m/s}.
  • Como desenhar na prova: fixe várias alturas y\ge 0 (por exemplo y=0,0{,}5,1,2,4), em cada linha horizontal desenhe setas paralelas ao eixo x cuja comprimento seja proporcional a 2\sqrt{y}. No y=0 a seta tem comprimento zero (ponto de repouso). À medida que y aumenta as setas crescem seguindo a raiz quadrada.
  • Descrição qualitativa: um “feixe” de vetores paralelos ao eixo x com intensidade que aumenta com \sqrt{y}. (Se fosse necessário, pode-se desenhar setas com comprimentos proporcionais aos números acima.)

Resposta

Linha de corrente: y=C_1,\\ z=C_2 (retas paralelas ao eixo x).
Derivada material: \dfrac{D\vec{V}}{Dt}=\sqrt{y}\,\vec{i}+0\,\vec{j}+0\,\vec{k}.
Vetor velocidade em t=2\\ \mathrm{s}: \vec{V}=2\sqrt{y}\,\vec{i} (setas paralelas a x, de magnitude 2\sqrt{y}; exemplos: u( y=0)=0, u(y=1)=2, u(y=4)=4 \mathrm{m/s}).

Exercícios relacionados