Utilizando a Análise Dimensional determinar expressões adimensionais das escalas do diâmetro dos vórtices, de tempo e de velocidades sabendo que f( \varepsilon ; \rho ; u ; D ; t ; V).
Passo 1
O enunciado dá a função de dependência f(\varepsilon;\;\rho;\;u;\;D;\;t;\;V) e pede: determinar, por Análise Dimensional, expressões adimensionais (i.e., grupos sem dimensão) para as escalas características do diâmetro dos vórtices, do tempo e das velocidades.
Lista clara das variáveis fornecidas:
\varepsilon: taxa de dissipação de energia por unidade de massa (valor com dimensão de energia por massa por tempo).
\rho: densidade do fluido.
u: viscosidade dinâmica do fluido (interpreto u aqui como a viscosidade dinâmica; se fosse outra coisa, o procedimento é o mesmo trocando a dimensão).
D: diâmetro característico dos vórtices (escala de comprimento).
t: tempo (escala de tempo).
V: velocidade característica (escala de velocidade).
O que se pede explicitamente:
Construir expressões adimensionais que relacionem D, t e V com as demais quantidades (\varepsilon,\rho,u). Em prática: encontrar três grupos adimensionais (ou mostrar as escalas características a partir desses grupos).
Passo 2
Definir as dimensões (unidades fundamentais) de cada variável e explicar o porquê:
\varepsilon: dimensão de energia por massa por tempo. Em unidades fundamentais isso é \mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3}. Raciocínio: energia por massa tem dimensão de velocidade ao quadrado (\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-2}); dividido por tempo dá \mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3}. Então \dim(\varepsilon)=\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3}.
\rho: densidade tem dimensão \mathrm{M}\mathrm{L}^{-3}. Então \dim(\rho)=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3}.
u: viscosidade dinâmica (interpretação) tem dimensão \mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1}. Então \dim(u)=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1}.
D: comprimento, \dim(D)=\mathrm{L}.
t: tempo, \dim(t)=\mathrm{T}.
V: velocidade, \dim(V)=\mathrm{L}\mathrm{T}^{-1}.
Observação útil (simplifica formas): a viscosidade cinemática é \nu=\dfrac{u}{\rho} com dimensão \mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-1}. Vou utilizar isso depois para escrever resultados em forma mais conhecida.
Passo 3
Aplicar o método de Buckingham: há k=6 variáveis e m=3 dimensões fundamentais (\mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T}), logo devemos obter k-m=3 grupos adimensionais independentes. Uma escolha conveniente de variáveis repetidas (as que têm todas as dimensões fundamentais entre si) é \varepsilon,\;u,\;\rho. Vou construir três Π-grupos do tipo
e escolher os expoentes para que cada \Pi seja adimensional. Em cada caso escrevo as dimensões e igualo expoentes de \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T} a zero.
Passo 4
Construir o grupo adimensional ligado ao comprimento (diâmetro) e resolver os expoentes.
Escrevo as dimensões de \Pi_1\):
\[\dim(\Pi_1)=\mathrm{L}\times(\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3})^{a}\times(\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1})^{b}\times(\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3})^{c}.
Juntando expoentes das dimensões \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T}:
Da terceira equação b=-3a\].
- Da primeira \(c=-b=3a.
- Substituindo na segunda: 1+2a-(-3a)-3(3a)=0 \Rightarrow 1+2a+3a-9a=0 \Rightarrow 1-4a=0.
- Logo a=\dfrac{1}{4}. Assim b=-\dfrac{3}{4} e c=\dfrac{3}{4}.
Substituir na segunda: 2a'-(1-3a')-3(-b')=0. Como c'=-b' e já substituímos b', fica mais direto combinar: usar c'=-b' no segundo: 2a' - b' +3b' = 2a' +2b' =0\Rightarrow b'=-a'. Igualando com b'=1-3a' obtemos -a'=1-3a'\Rightarrow 2a'=1\Rightarrow a'=\tfrac{1}{2}. Então b'=-\tfrac{1}{2} e c'=\tfrac{1}{2}.
Substituir na segunda: 1+2\tilde a -(-1-3\tilde a) -3(-\tilde b)=0. Mais simples: substituir \tilde c=-\tilde b torna a segunda 1+2\tilde a -\tilde b +3\tilde b = 1+2\tilde a +2\tilde b =0. Substituir \tilde b=-1-3\tilde a: 1+2\tilde a +2(-1-3\tilde a)=0 \Rightarrow 1+2\tilde a -2 -6\tilde a=0 \Rightarrow -1 -4\tilde a=0. Assim \tilde a=-\tfrac{1}{4}. Então \tilde b=-1-3(-\tfrac{1}{4})=-1+\tfrac{3}{4}=-\tfrac{1}{4} e \tilde c=-\tilde b=\tfrac{1}{4}.
Na prova, o procedimento padrão é: (i) listar dimensões, (ii) escolher três variáveis repetidas que contenham as três dimensões básicas, (iii) montar \Pi-grupos e (iv) resolver o sistema linear para os expoentes — exatamente o que foi feito acima. Vai dar certo — respira, você consegue!