Utilizando a Análise Dimensional determinar expressões adimensionais das escalas do diâmetro dos vórtices, de tempo e de velocidades sabendo que f( \varepsilon ; \rho ; u ; D ; t ; V).

Passo 1

O enunciado dá a função de dependência f(\varepsilon;\;\rho;\;u;\;D;\;t;\;V) e pede: determinar, por Análise Dimensional, expressões adimensionais (i.e., grupos sem dimensão) para as escalas características do diâmetro dos vórtices, do tempo e das velocidades.
Lista clara das variáveis fornecidas:
  • \varepsilon: taxa de dissipação de energia por unidade de massa (valor com dimensão de energia por massa por tempo).
  • \rho: densidade do fluido.
  • u: viscosidade dinâmica do fluido (interpreto u aqui como a viscosidade dinâmica; se fosse outra coisa, o procedimento é o mesmo trocando a dimensão).
  • D: diâmetro característico dos vórtices (escala de comprimento).
  • t: tempo (escala de tempo).
  • V: velocidade característica (escala de velocidade).
O que se pede explicitamente:
  • Construir expressões adimensionais que relacionem D, t e V com as demais quantidades ( \varepsilon,\rho,u). Em prática: encontrar três grupos adimensionais (ou mostrar as escalas características a partir desses grupos).

Passo 2

Definir as dimensões (unidades fundamentais) de cada variável e explicar o porquê:
  • \varepsilon: dimensão de energia por massa por tempo. Em unidades fundamentais isso é \mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3}. Raciocínio: energia por massa tem dimensão de velocidade ao quadrado ( \mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-2}); dividido por tempo dá \mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3}. Então \dim(\varepsilon)=\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3}.
  • \rho: densidade tem dimensão \mathrm{M}\mathrm{L}^{-3}. Então \dim(\rho)=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3}.
  • u: viscosidade dinâmica (interpretação) tem dimensão \mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1}. Então \dim(u)=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1}.
  • D: comprimento, \dim(D)=\mathrm{L}.
  • t: tempo, \dim(t)=\mathrm{T}.
  • V: velocidade, \dim(V)=\mathrm{L}\mathrm{T}^{-1}.
Observação útil (simplifica formas): a viscosidade cinemática é \nu=\dfrac{u}{\rho} com dimensão \mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-1}. Vou utilizar isso depois para escrever resultados em forma mais conhecida.

Passo 3

Aplicar o método de Buckingham: há k=6 variáveis e m=3 dimensões fundamentais ( \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T}), logo devemos obter k-m=3 grupos adimensionais independentes. Uma escolha conveniente de variáveis repetidas (as que têm todas as dimensões fundamentais entre si) é \varepsilon,\;u,\;\rho. Vou construir três Π-grupos do tipo
\Pi_1 = D\;\varepsilon^{a}\;u^{b}\;\rho^{c}, \qquad \Pi_2 = t\;\varepsilon^{a'}\;u^{b'}\;\rho^{c'}, \qquad \Pi_3 = V\;\varepsilon^{\tilde a}\;u^{\tilde b}\;\rho^{\tilde c},
e escolher os expoentes para que cada \Pi seja adimensional. Em cada caso escrevo as dimensões e igualo expoentes de \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T} a zero.

Passo 4

Construir o grupo adimensional ligado ao comprimento (diâmetro) e resolver os expoentes.
Escrevo as dimensões de \Pi_1\): \[\dim(\Pi_1)=\mathrm{L}\times(\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3})^{a}\times(\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1})^{b}\times(\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3})^{c}.
Juntando expoentes das dimensões \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T}:
\mathrm{M}^{\,b+c}\,\mathrm{L}^{\,1+2a-b-3c}\,\mathrm{T}^{\,-3a-b}.
Para \Pi_1 adimensional, os expoentes devem ser zero, daí o sistema
\begin{cases} b+c=0,\\[4pt] 1+2a-b-3c=0,\\[4pt] -3a-b=0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da terceira equação b=-3a\]. - Da primeira \(c=-b=3a.
    - Substituindo na segunda: 1+2a-(-3a)-3(3a)=0 \Rightarrow 1+2a+3a-9a=0 \Rightarrow 1-4a=0.
    - Logo a=\dfrac{1}{4}. Assim b=-\dfrac{3}{4} e c=\dfrac{3}{4}.
Portanto
\Pi_1 = D\;\varepsilon^{1/4}\;u^{-3/4}\;\rho^{3/4}.
Isolando D em forma de escala característica (definindo a escala de comprimento \ell tal que \Pi_1=D/\ell):
\ell = \left(\dfrac{u^{3}}{\rho^{3}\,\varepsilon}\right)^{1/4} = \left(\dfrac{(u/\rho)^{3}}{\varepsilon}\right)^{1/4}.
Usando \nu=\dfrac{u}{\rho} (viscosidade cinemática), fica
\ell = \left(\dfrac{\nu^{3}}{\varepsilon}\right)^{1/4}.
Assim o grupo adimensional pode ser escrito como
\Pi_1=\dfrac{D}{\ell}=\dfrac{D}{\left(\dfrac{\nu^{3}}{\varepsilon}\right)^{1/4}}.]

Passo 5

Construir o grupo adimensional ligado ao tempo e resolver expoentes.
Defino
\Pi_2 = t\;\varepsilon^{a'}\;u^{b'}\;\rho^{c'}.
Dimensões:
\dim(\Pi_2)=\mathrm{T}\times(\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3})^{a'}\times(\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1})^{b'}\times(\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3})^{c'}
que dá os expoentes
\mathrm{M}^{\,b'+c'}\,\mathrm{L}^{\,2a'-b'-3c'}\,\mathrm{T}^{\,1-3a'-b'}.
Igualando a zero:
\begin{cases} b'+c'=0,\\[4pt] 2a'-b'-3c'=0,\\[4pt] 1-3a'-b'=0. \end{cases}
Resolver:
  • Da primeira c'=-b'.
  • Da terceira b'=1-3a'.
  • Substituir na segunda: 2a'-(1-3a')-3(-b')=0. Como c'=-b' e já substituímos b', fica mais direto combinar: usar c'=-b' no segundo: 2a' - b' +3b' = 2a' +2b' =0\Rightarrow b'=-a'. Igualando com b'=1-3a' obtemos -a'=1-3a'\Rightarrow 2a'=1\Rightarrow a'=\tfrac{1}{2}. Então b'=-\tfrac{1}{2} e c'=\tfrac{1}{2}.
Logo
\Pi_2 = t\;\varepsilon^{1/2}\;u^{-1/2}\;\rho^{1/2}.
Isolando a escala de tempo \tau (tal que \Pi_2=t/\tau):
\tau = \left(\dfrac{u}{\rho\,\varepsilon}\right)^{1/2} = \left(\dfrac{\nu}{\varepsilon}\right)^{1/2}.]

Passo 6

Construir o grupo adimensional ligado à velocidade e resolver expoentes.
Defino
\Pi_3 = V\;\varepsilon^{\tilde a}\;u^{\tilde b}\;\rho^{\tilde c}.
Dimensões:
\dim(\Pi_3)=\mathrm{L}\mathrm{T}^{-1}\times(\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-3})^{\tilde a}\times(\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1})^{\tilde b}\times(\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3})^{\tilde c}.
Reunindo expoentes:
\mathrm{M}^{\,\tilde b+\tilde c}\,\mathrm{L}^{\,1+2\tilde a-\tilde b-3\tilde c}\,\mathrm{T}^{\,-1-3\tilde a-\tilde b}.
Igualando a zero:
\begin{cases} \tilde b+\tilde c=0,\\[4pt] 1+2\tilde a-\tilde b-3\tilde c=0,\\[4pt] -1-3\tilde a-\tilde b=0. \end{cases}
Resolver:
  • Da primeira \tilde c=-\tilde b.
  • Da terceira \tilde b = -1-3\tilde a.
  • Substituir na segunda: 1+2\tilde a -(-1-3\tilde a) -3(-\tilde b)=0. Mais simples: substituir \tilde c=-\tilde b torna a segunda 1+2\tilde a -\tilde b +3\tilde b = 1+2\tilde a +2\tilde b =0. Substituir \tilde b=-1-3\tilde a: 1+2\tilde a +2(-1-3\tilde a)=0 \Rightarrow 1+2\tilde a -2 -6\tilde a=0 \Rightarrow -1 -4\tilde a=0. Assim \tilde a=-\tfrac{1}{4}. Então \tilde b=-1-3(-\tfrac{1}{4})=-1+\tfrac{3}{4}=-\tfrac{1}{4} e \tilde c=-\tilde b=\tfrac{1}{4}.
Portanto
\Pi_3 = V\;\varepsilon^{-1/4}\;u^{-1/4}\;\rho^{1/4}.
Isolando a escala de velocidade u_\ast (tal que \Pi_3=V/u_\ast):
u_\ast = \left(\dfrac{u\,\varepsilon}{\rho}\right)^{1/4} = \left(\nu\,\varepsilon\right)^{1/4}.]

Passo 7

Resumo e reescrita em formas convencionais (usando \nu=u/\rho). As três escalas características encontradas são:
  • escala de comprimento (diâmetro) dos vórtices
\ell = \left(\dfrac{u^{3}}{\rho^{3}\,\varepsilon}\right)^{1/4} = \left(\dfrac{\nu^{3}}{\varepsilon}\right)^{1/4}.
  • escala de tempo
\tau = \left(\dfrac{u}{\rho\,\varepsilon}\right)^{1/2} = \left(\dfrac{\nu}{\varepsilon}\right)^{1/2}.
  • escala de velocidade
u_\ast = \left(\dfrac{u\,\varepsilon}{\rho}\right)^{1/4} = \left(\nu\,\varepsilon\right)^{1/4}.
Observação didática final: os três grupos adimensionais que podem ser escritos para o problema são
\Pi_1=\dfrac{D}{\ell},\qquad \Pi_2=\dfrac{t}{\tau},\qquad \Pi_3=\dfrac{V}{u_\ast}.
Na prova, o procedimento padrão é: (i) listar dimensões, (ii) escolher três variáveis repetidas que contenham as três dimensões básicas, (iii) montar \Pi-grupos e (iv) resolver o sistema linear para os expoentes — exatamente o que foi feito acima. Vai dar certo — respira, você consegue!

Resposta

D\sim\displaystyle\left(\dfrac{u^{3}}{\rho^{3}\,\varepsilon}\right)^{1/4}=\left(\dfrac{\nu^{3}}{\varepsilon}\right)^{1/4}\n
t\sim\displaystyle\left(\dfrac{u}{\rho\,\varepsilon}\right)^{1/2}=\left(\dfrac{\nu}{\varepsilon}\right)^{1/2}\n
V\sim\displaystyle\left(\dfrac{u\,\varepsilon}{\rho}\right)^{1/4}=\left(\nu\,\varepsilon\right)^{1/4}

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