8.32 A regiāo do espaço livre definida por
e
é um toróide de seção transversa retangular. Considere a superfície em
conduzindo uma corrente superficial
. (a) Especifique as densidades de corrente nas superficies em
e
. (b) Determine H em toda parte. (c) Calcule o fluxo total dentro do toróide.
Passo 1
O enunciado dá uma região de espaço livre que é um toroide de seção retangular: as coordenadas que definem o toroide são
e
.
Há uma superfície condutora na que suporta uma corrente superficial indicada por
.
O que se pede:
(a) especificar as densidades de corrente nas superfícies em ,
e
;
(b) determinar em toda parte;
(c) calcular o fluxo magnético total dentro do toroide.
Há uma superfície condutora na
O que se pede:
(a) especificar as densidades de corrente nas superfícies em
(b) determinar
(c) calcular o fluxo magnético total dentro do toroide.
Passo 2
Interpretação física e unidades. A corrente superficial dada é
Aqui
é a direção azimutal: a corrente superficial em
consiste em laços circulares (em cada plano
constante), cada laço é fechado por si mesmo — portanto não há necessidade de “fechar” corrente nas tampas
e
. Assim, espera-se que não haja corrente superficial nessas outras faces, a menos que o enunciado a forneça (ele não fornece). Listo isso nos próximos passos.
Passo 3
Condição de contorno de
na presença de corrente superficial. A condição geral na interface é
onde
é a normal saindo da face 1 para a face 2. Para a superfície cilíndrica
a normal é
. Tomamos “dentro” como
e “fora” como
. Supondo (por simetria e pela ausência de outras fontes) que fora do toroide
(justificativa: não há correntes livres em outras superfícies que possam gerar campo permanente no infinito e o conjunto de laços circulares tem campo axial confinado à região do toroide), a condição fica
Procuramos um
compatível com a simetria. Pela orientação de
(na direção
) o candidato natural é
(campo axial constante). Calculemos o produto vetorial:
Logo a condição é
isto é
Mas atenção ao sinal: a equação que usamos foi
, que dá
. Reescrevendo sem erro de sinal, mais diretamente podemos também aplicar a forma usual:
. Com
, isto dá
. Como
, substituindo
fica
. Portanto
(esse último raciocínio deixa claro o sinal correto:
.)
Resumo da dedução: na região interna onde existe a folha de correntes azimutais, o campo
é uniforme e axial, com magnitude igual à densidade de corrente superficial
.
Passo 4
Verificação de continuidade e regiões. Como não há corrente superficial em
(a face interna) a componente tangencial de
é contínua aí; isto significa que o valor
se aplica em toda a região interna do toroide
. Fora desta região (para
ou
, ou para
ou
) não há fontes que sustentem esse campo uniforme, portanto, pela simetria e pelas condições de contorno,
nessas regiões (fora do volume do toroide).
Passo 5
Cálculo do fluxo magnético total dentro do toroide. Em meio livre
. Como
dentro do toroide, temos
. Escolhemos como superfície para calcular o fluxo uma fatia horizontal (plano
const) que atravessa todo o toroide; o elemento de área nessa superfície é
e a integral sobre a região
dá o fluxo total atravessando essa superfície:
Convertemos para metros:
,
. Calcule a integral:
Portanto
Observe que
, então simplifica elegantemente:
Usando
obtemos numericamente
Resposta
(a)
(c)
]