8.32 A regiāo do espaço livre definida por 1<z<4 \mathrm{~cm} e 2<\rho<3 \mathrm{~cm} é um toróide de seção transversa retangular. Considere a superfície em \rho=3 \mathrm{~cm} conduzindo uma corrente superficial \mathrm{K}=2 \mathrm{a}, \mathrm{kA} / \mathrm{m}. (a) Especifique as densidades de corrente nas superficies em \rho=2 \mathrm{~cm}, z=1 \mathrm{~cm} e z=4 \mathrm{~cm}. (b) Determine H em toda parte. (c) Calcule o fluxo total dentro do toróide.

Passo 1

O enunciado dá uma região de espaço livre que é um toroide de seção retangular: as coordenadas que definem o toroide são \;1<z<4\\ \mathrm{cm}\; e \;2<\rho<3\\ \mathrm{cm}.
Há uma superfície condutora na \rho=3\\ \mathrm{cm} que suporta uma corrente superficial indicada por \mathbf{K}=2\,\hat{\varphi}\\ \mathrm{kA/m}.
O que se pede:
(a) especificar as densidades de corrente nas superfícies em \rho=2\\ \mathrm{cm}, z=1\\ \mathrm{cm} e z=4\\ \mathrm{cm};
(b) determinar \mathbf{H} em toda parte;
(c) calcular o fluxo magnético total dentro do toroide.

Passo 2

Interpretação física e unidades. A corrente superficial dada é
\mathbf{K}=2\,\hat{\varphi}\\ \mathrm{kA/m}=2000\,\hat{\varphi}\\ \mathrm{A/m}.
Aqui \hat{\varphi} é a direção azimutal: a corrente superficial em \rho=3 consiste em laços circulares (em cada plano z= constante), cada laço é fechado por si mesmo — portanto não há necessidade de “fechar” corrente nas tampas z=1 e z=4. Assim, espera-se que não haja corrente superficial nessas outras faces, a menos que o enunciado a forneça (ele não fornece). Listo isso nos próximos passos.

Passo 3

Condição de contorno de \mathbf{H} na presença de corrente superficial. A condição geral na interface é
\hat{n}\times\bigl(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1\bigr)=\mathbf{K},
onde \hat{n} é a normal saindo da face 1 para a face 2. Para a superfície cilíndrica \rho=3 a normal é \hat{n}=\hat{\rho}. Tomamos “dentro” como \rho<3 e “fora” como \rho>3. Supondo (por simetria e pela ausência de outras fontes) que fora do toroide \mathbf{H}_{\text{fora}}=0 (justificativa: não há correntes livres em outras superfícies que possam gerar campo permanente no infinito e o conjunto de laços circulares tem campo axial confinado à região do toroide), a condição fica
\hat{\rho}\times\bigl(0-\mathbf{H}_{\text{dentro}}\bigr)=\mathbf{K}.
Procuramos um \mathbf{H}_{\text{dentro}} compatível com a simetria. Pela orientação de \mathbf{K} (na direção \hat{\varphi}) o candidato natural é \mathbf{H}_{\text{dentro}}=H_z\,\hat{z} (campo axial constante). Calculemos o produto vetorial:
\hat{\rho}\times(H_z\hat{z})=H_z(\hat{\rho}\times\hat{z})=H_z(-\hat{\varphi})=-H_z\hat{\varphi}.
Logo a condição é
- H_z\hat{\varphi} = \mathbf{K} = 2000\,\hat{\varphi}\\ \mathrm{A/m},
isto é
- H_z = 2000\quad\Rightarrow\quad H_z = -2000\\ \mathrm{A/m}.
Mas atenção ao sinal: a equação que usamos foi \hat{\rho}\times(0-\mathbf{H}_{\text{dentro}})=\mathbf{K}, que dá -\hat{\rho}\times\mathbf{H}_{\text{dentro}}=\mathbf{K}. Reescrevendo sem erro de sinal, mais diretamente podemos também aplicar a forma usual: \hat{\rho}\times(\mathbf{H}_{\text{fora}}-\mathbf{H}_{\text{dentro}})=\mathbf{K}. Com \mathbf{H}_{\text{fora}}=0, isto dá -\hat{\rho}\times\mathbf{H}_{\text{dentro}}=\mathbf{K}. Como \hat{\rho}\times\hat{z}=-\hat{\varphi}, substituindo \mathbf{H}_{\text{dentro}}=H_z\hat{z} fica -H_z(-\hat{\varphi})=\mathbf{K}\Rightarrow H_z\hat{\varphi}=\mathbf{K}. Portanto
H_z = 2000\\ \mathrm{A/m}.
(esse último raciocínio deixa claro o sinal correto: \mathbf{H}_{\text{dentro}}=+2000\,\hat{z}\\ \mathrm{A/m}.)
Resumo da dedução: na região interna onde existe a folha de correntes azimutais, o campo \mathbf{H} é uniforme e axial, com magnitude igual à densidade de corrente superficial K.

Passo 4

Verificação de continuidade e regiões. Como não há corrente superficial em \rho=2 (a face interna) a componente tangencial de \mathbf{H} é contínua aí; isto significa que o valor H_z=2000\\ \mathrm{A/m} se aplica em toda a região interna do toroide 2<\rho<3,\;1<z<4. Fora desta região (para \rho>3 ou \rho<2, ou para z<1 ou z>4) não há fontes que sustentem esse campo uniforme, portanto, pela simetria e pelas condições de contorno, \mathbf{H}=0 nessas regiões (fora do volume do toroide).

Passo 5

Cálculo do fluxo magnético total dentro do toroide. Em meio livre \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}. Como \mathbf{H}=\;2000\,\hat{z}\\ \mathrm{A/m} dentro do toroide, temos \mathbf{B}=\mu_0\cdot2000\,\hat{z}. Escolhemos como superfície para calcular o fluxo uma fatia horizontal (plano z= const) que atravessa todo o toroide; o elemento de área nessa superfície é dA=\rho\,d\rho\,d\varphi e a integral sobre a região \rho\in[2\\ \mathrm{cm},3\\ \mathrm{cm}],\\ \varphi\in[0,2\pi] dá o fluxo total atravessando essa superfície:
\Phi=\int_{0}^{2\pi}\int_{2\\ \mathrm{cm}}^{3\\ \mathrm{cm}}\mathbf{B}\cdot\hat{z}\,\rho\,d\rho\,d\varphi =\mu_0(2000)\int_{0}^{2\pi}\int_{2\\ \mathrm{cm}}^{3\\ \mathrm{cm}}\rho\,d\rho\,d\varphi.
Convertemos para metros: 2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}, 3\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}. Calcule a integral:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0{,}02}^{0{,}03}\rho\,d\rho =2\pi\left[\tfrac{1}{2}\rho^2\right]_{0{,}02}^{0{,}03} =2\pi\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(0{,}03^2-0{,}02^2\bigr) =\pi\bigl(0{,}0009-0{,}0004\bigr) =\pi(0{,}0005).
Portanto
\Phi=\mu_0(2000)\cdot\pi(0{,}0005)=\mu_0\cdot 2000\cdot 0{,}0005\cdot\pi.
Observe que 2000\cdot0{,}0005=1, então simplifica elegantemente:
\Phi=\mu_0\pi.
Usando \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} obtemos numericamente
\Phi=4\pi\times10^{-7}\cdot\pi=4\pi^2\times10^{-7}\\ \mathrm{Wb}\approx 3{,}95\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.

Resposta

(a) \mathbf{K}(\rho=2\\ \mathrm{cm})=\mathbf{0};\quad \mathbf{K}(z=1\\ \mathrm{cm})=\mathbf{0};\quad \mathbf{K}(z=4\\ \mathrm{cm})=\mathbf{0}.\) (b) \(\displaystyle \mathbf{H}=\begin{cases} 2000\,\hat{z}\\ \mathrm{A/m}, & 2<\rho<3\\ \mathrm{cm},\\\ 1<z<4\\ \mathrm{cm},\\[6pt] \mathbf{0}, & \text{em todo o resto do espaço.} \end{cases}
(c) \displaystyle \Phi=\mu_0\pi \approx 3{,}95\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.]

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