8.26 Seja \mathbf{G}=15 r \mathrm{a}{e} \cdot(a) Determine \oint \mathbf{G} \cdot d \mathbf{L} para o caminho circular r=5, \theta=25^{\circ}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi. Calcule \int{\mathbf{S}}(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{G}) \cdot d \mathbf{S} sobre a calota esférica r=5,0 \leq \theta \leq 25^{\circ}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação (vou escrever tudo de forma bem explícita para a gente não se perder):
  • O campo vetor é \mathbf{G} = 15\, r\, \hat a_{\varphi}. (Aqui estou interpretando a_{e} do enunciado como o versor azimutal \hat a_{\varphi}.)
  • O caminho pedido é a curva circular definida por r=5, \theta=25^\circ, com 0\le \varphi \le 2\pi. A pergunta (a) é: calcular \displaystyle \oint \mathbf{G}\cdot d\mathbf{L} ao longo desse caminho.
  • A superfície pedida é a calota esférica de raio r=5 limitada por 0\le \theta \le 25^\circ e 0\le \varphi \le 2\pi. A pergunta (b) é: calcular \displaystyle \iint_{\mathbf S} (\nabla\times \mathbf{G})\cdot d\mathbf S sobre essa calota.
  • Observação: as duas quantidades devem coincidir por causa do Teorema de Stokes (linha integral ao redor da borda = integral do rotacional sobre a superfície cuja borda é essa curva). Vou calcular explicitamente as duas para você entender passo a passo.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral de linha diretamente. Lembrete prático sobre elementos em coordenadas esféricas:
  • Num deslocamento puramente azimutal (varia só \varphi), o vetor deslocamento é tangente no sentido \hat a_{\varphi} e o comprimento diferencial é r\sin\theta\, d\varphi. Ou seja,
d\mathbf L = r\sin\theta\, d\varphi\; \hat a_{\varphi}.
Explicação curta: numa esfera de raio r, um pequeno arco à latitude \theta subtende comprimento r\sin\theta\, d\varphi porque o raio do círculo de latitude vale r\sin\theta.

Passo 3

Calcule o produto escalar \mathbf{G}\cdot d\mathbf L. Como \mathbf{G}=15\,r\,\hat a_{\varphi} e d\mathbf L = r\sin\theta\, d\varphi\,\hat a_{\varphi},
\mathbf{G}\cdot d\mathbf L = (15\,r\,\hat a_{\varphi})\cdot (r\sin\theta\, d\varphi\,\hat a_{\varphi}) = 15\,r^2\sin\theta\, d\varphi.
Aqui usei que \hat a_{\varphi}\cdot\hat a_{\varphi}=1.

Passo 4

Agora integramos em \varphi de 0 a 2\pi, avaliando em r=5 e \theta=25^\circ:
\oint \mathbf{G}\cdot d\mathbf L = \int_{0}^{2\pi} 15\,r^2\sin\theta\, d\varphi = 15\,r^2\sin\theta \int_{0}^{2\pi} d\varphi = 15\,r^2\sin\theta \cdot 2\pi.
Substituindo r=5 e \theta=25^\circ,
\oint \mathbf{G}\cdot d\mathbf L = 30\pi \, r^2 \sin 25^\circ = 30\pi\cdot 25\cdot \sin 25^\circ = 750\pi \sin 25^\circ.
Se você quiser um valor numérico aproximado, \sin 25^\circ\approx 0{,}422618, então
\oint \mathbf{G}\cdot d\mathbf L \approx 750\pi\cdot 0{,}422618 \approx 995{,}9.

Passo 5

Agora vamos calcular \iint_{\mathbf S}(\nabla\times\mathbf G)\cdot d\mathbf S diretamente, para praticar o cálculo do rotacional em coordenadas esféricas e confirmar o resultado (Stokes).
Primeiro, escrevo as componentes do campo em formulário esférico:
G_r=0,\qquad G_\theta=0,\qquad G_\varphi=15\,r.

Passo 6

Vou usar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas (forma prática e direta). Para um campo \mathbf A=(A_r,A_\theta,A_\varphi) em coordenadas esféricas,
(\nabla\times\mathbf A)_r=\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\, A_\varphi)-\frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi}\right],
(\nabla\times\mathbf A)_\theta=\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial r}(r A_\varphi)\right],
(\nabla\times\mathbf A)_\varphi=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right].
Explicação curta: essas fórmulas vêm de aplicar a definição de rotacional e a métrica das coordenadas esféricas; cada termo é a taxa de variação apropriada das componentes.

Passo 7

Aplicando as fórmulas ao nosso campo G_r=0,\;G_\theta=0,\;G_\varphi=15r:
  • Componente radial:
(\nabla\times\mathbf G)_r = \frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\cdot 15r)-\frac{\partial}{\partial\varphi}(0)\right] = \frac{1}{r\sin\theta}\big(15r\cos\theta\big) = 15\cot\theta.
  • Componente polar ( \theta):
(\nabla\times\mathbf G)_\theta = \frac{1}{r}\left[0-\frac{\partial}{\partial r}(r\cdot 15r)\right] = -\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(15 r^2) = -\frac{1}{r}\cdot 30 r = -30.
  • Componente azimutal:
(\nabla\times\mathbf G)_\varphi = \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r\cdot 0)-\frac{\partial}{\partial\theta}(0)\right]=0.
Portanto
\nabla\times\mathbf G = 15\cot\theta\; \hat a_{r} \;-\;30\; \hat a_{\theta}.

Passo 8

Para a calota esférica r=5 o elemento de área orientado (vetor área) é
d\mathbf S = r^2\sin\theta\, d\theta\, d\varphi\; \hat a_{r},
porque a normal à superfície esférica é \hat a_{r} e a área de um elemento é r^2\sin\theta\, d\theta\, d\varphi.

Passo 9

O produto escalar (\nabla\times\mathbf G)\cdot d\mathbf S usa só a componente radial do rotacional:
(\nabla\times\mathbf G)\cdot d\mathbf S = (15\cot\theta)\cdot (r^2\sin\theta\, d\theta\, d\varphi) = 15 r^2 \cos\theta\, d\theta\, d\varphi,
pois \cot\theta\sin\theta=\cos\theta.
Agora integramos sobre \varphi de 0 a 2\pi e \theta de 0 a 25^\circ:
\iint_{\mathbf S} (\nabla\times\mathbf G)\cdot d\mathbf S = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{25^\circ} 15 r^2 \cos\theta\, d\theta\, d\varphi = 2\pi\cdot 15 r^2 \big[\sin\theta\big]_{0}^{25^\circ} = 30\pi r^2 \sin 25^\circ.
Com r=5 isso dá
\iint_{\mathbf S} (\nabla\times\mathbf G)\cdot d\mathbf S = 30\pi\cdot 25\cdot \sin 25^\circ = 750\pi \sin 25^\circ.
Como esperado, coincide com a integral de linha calculada no Passo 4. Em valor aproximado:
\iint_{\mathbf S} (\nabla\times\mathbf G)\cdot d\mathbf S \approx 995{,}9.

Resposta

\displaystyle \oint \mathbf{G}\cdot d\mathbf{L}=750\pi\sin 25^\circ \approx 995{,}9.\n \displaystyle \iint_{\mathbf S}(\nabla\times\mathbf G)\cdot d\mathbf S=750\pi\sin 25^\circ \approx 995{,}9.

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