8.26 Seja \mathbf{G}=15 r \mathrm{a}{e} \cdot(a) Determine \oint \mathbf{G} \cdot d \mathbf{L} para o caminho circular r=5, \theta=25^{\circ}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi. Calcule \int{\mathbf{S}}(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{G}) \cdot d \mathbf{S} sobre a calota esférica r=5,0 \leq \theta \leq 25^{\circ}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação (vou escrever tudo de forma bem explícita para a gente não se perder):
- O campo vetor é
. (Aqui estou interpretando do enunciado como o versor azimutal .) - O caminho pedido é a curva circular definida por
, , com . A pergunta (a) é: calcular ao longo desse caminho. - A superfície pedida é a calota esférica de raio
limitada por e . A pergunta (b) é: calcular sobre essa calota. - Observação: as duas quantidades devem coincidir por causa do Teorema de Stokes (linha integral ao redor da borda = integral do rotacional sobre a superfície cuja borda é essa curva). Vou calcular explicitamente as duas para você entender passo a passo.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a integral de linha diretamente. Lembrete prático sobre elementos em coordenadas esféricas:
- Num deslocamento puramente azimutal (varia só
), o vetor deslocamento é tangente no sentido e o comprimento diferencial é . Ou seja,
Explicação curta: numa esfera de raio
, um pequeno arco à latitude
subtende comprimento
porque o raio do círculo de latitude vale
.
Passo 3
Calcule o produto escalar
. Como
e
,
Aqui usei que
.
Passo 4
Agora integramos em
de
a
, avaliando em
e
:
Substituindo
e
,
Se você quiser um valor numérico aproximado,
, então
Passo 5
Agora vamos calcular
diretamente, para praticar o cálculo do rotacional em coordenadas esféricas e confirmar o resultado (Stokes).
Primeiro, escrevo as componentes do campo em formulário esférico:
Passo 6
Vou usar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas (forma prática e direta). Para um campo
em coordenadas esféricas,
Explicação curta: essas fórmulas vêm de aplicar a definição de rotacional e a métrica das coordenadas esféricas; cada termo é a taxa de variação apropriada das componentes.
Passo 7
Aplicando as fórmulas ao nosso campo
:
- Componente radial:
- Componente polar (
):
- Componente azimutal:
Portanto
Passo 8
Para a calota esférica
o elemento de área orientado (vetor área) é
porque a normal à superfície esférica é
e a área de um elemento é
.
Passo 9
O produto escalar
usa só a componente radial do rotacional:
pois
.
Agora integramos sobre
de
a
e
de
a
:
Com
isso dá
Como esperado, coincide com a integral de linha calculada no Passo 4. Em valor aproximado: