8.33 Use uma expansão em coordenadas cartesianas para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar
é identicamente igual a zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar
é identicamente igual a zero, usando uma expansão em coordenadas cartesianas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Temos um campo escalar
. - Devemos trabalhar em coordenadas cartesianas
. - É necessário assumir regularidade suficiente em
(ou seja, que as derivadas parciais de segunda ordem existam e sejam contínuas) para poder trocar a ordem de diferenciação quando necessário.
Passo 2
Definição do gradiente de um escalar
em coordenadas cartesianas. Se
é uma função de
, então o gradiente de
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de primeira ordem:
Explicando: a componente
é a taxa de variação de
quando só
varia, mantendo
fixos; e analogamente para as outras componentes.
Passo 3
Definição do rotacional (curl) de um campo vetorial. Se tivermos um campo vetorial
em coordenadas cartesianas, o rotacional é o vetor cujas componentes são dadas por:
Explicando: cada componente do rotacional combina derivadas parciais cruzadas das componentes do vetor
.
Passo 4
Agora aplique a definição do rotacional ao caso
. Substituindo
,
,
na fórmula do rotacional, obtemos:
Passo 5
Reescrevendo cada entrada como derivadas parciais de segunda ordem, temos:
Aqui
significa primeiro derivar em relação a
e depois em relação a
(ou vice‑versa conforme a notação), e cada termo é uma derivada parcial de segunda ordem mista.
Passo 6
Uso da igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut / Schwarz). Se
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas na região considerada, então para quaisquer variáveis
vale
Aplicando isso aos termos do passo anterior, cada diferença fica nula:
Passo 7
Concluímos que todas as componentes do rotacional de
são zero, logo o vetor é o vetor nulo. Em forma compacta:
Comentário prático: a condição técnica usada foi que
possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas; se isso não ocorrer, a igualdade pode falhar em pontos singulares.
Passo 8
Um exemplo rápido para fixar: tome
. Então
. Calculando o rotacional:
confirmando na prática o resultado geral.