8.33 Use uma expansão em coordenadas cartesianas para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar G é identicamente igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar G é identicamente igual a zero, usando uma expansão em coordenadas cartesianas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Temos um campo escalar G(x,y,z).
  • Devemos trabalhar em coordenadas cartesianas (x,y,z).
  • É necessário assumir regularidade suficiente em G (ou seja, que as derivadas parciais de segunda ordem existam e sejam contínuas) para poder trocar a ordem de diferenciação quando necessário.

Passo 2

Definição do gradiente de um escalar G em coordenadas cartesianas. Se G é uma função de (x,y,z), então o gradiente de G é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de primeira ordem:
\nabla G = \left(\frac{\partial G}{\partial x},\frac{\partial G}{\partial y},\frac{\partial G}{\partial z}\right).
Explicando: a componente \frac{\partial G}{\partial x} é a taxa de variação de G quando só x varia, mantendo y,z fixos; e analogamente para as outras componentes.

Passo 3

Definição do rotacional (curl) de um campo vetorial. Se tivermos um campo vetorial \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas cartesianas, o rotacional é o vetor cujas componentes são dadas por:
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\\ \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\\ \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right).
Explicando: cada componente do rotacional combina derivadas parciais cruzadas das componentes do vetor \mathbf{F}.

Passo 4

Agora aplique a definição do rotacional ao caso \mathbf{F}=\nabla G. Substituindo F_x=\frac{\partial G}{\partial x}, F_y=\frac{\partial G}{\partial y}, F_z=\frac{\partial G}{\partial z} na fórmula do rotacional, obtemos:
\nabla\times(\nabla G)=\left(\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial G}{\partial z}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial G}{\partial y}\right),\\ \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial G}{\partial z}\right),\\ \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial G}{\partial y}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)\right).

Passo 5

Reescrevendo cada entrada como derivadas parciais de segunda ordem, temos:
\nabla\times(\nabla G)=\left(\frac{\partial^2 G}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 G}{\partial z\partial y},\\ \frac{\partial^2 G}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 G}{\partial x\partial z},\\ \frac{\partial^2 G}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 G}{\partial y\partial x}\right).
Aqui \frac{\partial^2 G}{\partial y\partial z} significa primeiro derivar em relação a z e depois em relação a y (ou vice‑versa conforme a notação), e cada termo é uma derivada parcial de segunda ordem mista.

Passo 6

Uso da igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut / Schwarz). Se G tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas na região considerada, então para quaisquer variáveis u,v vale
\frac{\partial^2 G}{\partial u\partial v}=\frac{\partial^2 G}{\partial v\partial u}.
Aplicando isso aos termos do passo anterior, cada diferença fica nula:
\frac{\partial^2 G}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 G}{\partial z\partial y}=0,
\frac{\partial^2 G}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 G}{\partial x\partial z}=0,
\frac{\partial^2 G}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 G}{\partial y\partial x}=0.

Passo 7

Concluímos que todas as componentes do rotacional de \nabla G são zero, logo o vetor é o vetor nulo. Em forma compacta:
\nabla\times(\nabla G)=\mathbf{0}.
Comentário prático: a condição técnica usada foi que G possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas; se isso não ocorrer, a igualdade pode falhar em pontos singulares.

Passo 8

Um exemplo rápido para fixar: tome G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. Então \nabla G=(2x,2y,2z). Calculando o rotacional:
\nabla\times(2x,2y,2z)=\left(\frac{\partial (2z)}{\partial y}-\frac{\partial (2y)}{\partial z},\\ \frac{\partial (2x)}{\partial z}-\frac{\partial (2z)}{\partial x},\\ \frac{\partial (2y)}{\partial x}-\frac{\partial (2x)}{\partial y}\right)=(0,0,0),
confirmando na prática o resultado geral.

Resposta

\nabla\times(\nabla G)=\mathbf{0}

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