3.32 Um tubo de vapor, com 10 cm de diâmetro externo, mantido à temperatura T_{i}=130^{\circ} \mathrm{C}, está recoberto com isolamento de amianto com a espessura de L=3 \mathrm{~cm}\left[k=0,1 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right]. A temperatura do ar ambiente T_{*}=30^{\circ} \mathrm{C}, e o coeficiente da transferéncia convectiva de calor para a superfície externa do isolamento de amianto é h=25 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Utilizando o conceito de resistência térmica, calcule a taxa de perda de calor do tubo por metro de tubo.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro externo do tubo: D_{\text{tubo}}=0,10\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
    • temperatura da superfície interna (tubo): T_{i}=130^\circ\mathrm{C} (peguei do enunciado);
    • espessura do isolamento: L=3\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
    • condutividade térmica do amianto: k=0,1\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}) (peguei do enunciado);
    • temperatura ambiente: T_{*}=30^\circ\mathrm{C} (peguei do enunciado);
    • coeficiente de convecção na superfície externa: h=25\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}) (peguei do enunciado).
  • O que se pede:
    • calcular a taxa de perda de calor por metro de tubo (ou seja, taxa de calor por unidade de comprimento q', em \mathrm{W}/\mathrm{m}).

Passo 2

Explicar o modelo físico e as fórmulas que vamos usar — resistência térmica em série (didático).
Quando o calor sai do fluido/tubo e atravessa um isolamento cilíndrico e, em seguida, é removido por convecção ao ar, temos duas “resistências térmicas” em série:
  1. resistência por condução através do isolamento cilíndrico;
  2. resistência por convecção na superfície externa.
A ideia de resistência térmica é análoga à resistência elétrica: a taxa de calor é a diferença de temperatura dividida pela resistência total:
q'=\frac{T_{i}-T_{*}}{R_{\text{total}}},
onde q' é a potência por unidade de comprimento ( \mathrm{W}/\mathrm{m}) e R_{\text{total}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}.
Fórmula da resistência por condução através de um cilindro (explicação resumida):
a partir da lei de Fourier em coordenadas radiais e integrando de r=r_1 até r=r_2 obtém-se
q' = \frac{2\pi k L_{\text{ax}}(T_1-T_2)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)},
onde L_{\text{ax}} é o comprimento do cilindro. Reorganizando:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L_{\text{ax}}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • r_1: raio externo do tubo (raio interno do isolamento),
  • r_2: raio externo do isolamento,
  • k: condutividade térmica do isolamento,
  • L_{\text{ax}}: comprimento ao longo do eixo (vou usar L_{\text{ax}}=1\\ \mathrm{m} porque o pedido é por metro).
Fórmula da resistência por convecção na superfície externa:
a resistência convectiva para a superfície externa (por unidade de comprimento) é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A_{\text{ext}}}=\frac{1}{h(2\pi r_2 L_{\text{ax}})}.
Novamente L_{\text{ax}}=1\\ \mathrm{m} será usado para obter resistência por metro.

Passo 3

Calcular os raios e o comprimento axial usado.
  • raio externo do tubo (raio interno do isolamento):
r_1=\frac{D_{\text{tubo}}}{2}=\frac{0,10}{2}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • raio externo do isolamento:
r_2=r_1+ \text{espessura} = 0,05+0,03=0,08\\ \mathrm{m}.
  • comprimento axial (por metro): L_{\text{ax}}=1\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a resistência por condução através do isolamento cilíndrico.
Usando
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L_{\text{ax}}},
substituindo números (tudo em unidades SI):
\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\dfrac{0,08}{0,05}\right)=\ln(1,6)\approx0,4700036.
2\pi k L_{\text{ax}}=2\pi\cdot0,1\cdot1=0,2\pi\approx0,6283185.
Portanto
R_{\text{cond}}=\frac{0,4700036}{0,6283185}\approx0,7477\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.

Passo 5

Calcular a resistência por convecção na superfície externa.
Usando
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h(2\pi r_2 L_{\text{ax}})},
substituindo:
2\pi r_2 L_{\text{ax}}=2\pi\cdot0,08\cdot1\approx0,5026548\\ \mathrm{m^2},
h(2\pi r_2 L_{\text{ax}})=25\cdot0,5026548\approx12,56637\\ \mathrm{W/^\circ C}.
Assim
R_{\text{conv}}=\frac{1}{12,56637}\approx0,079577\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.

Passo 6

Somar as resistências e calcular a taxa de calor por metro.
Resistência total:
R_{\text{total}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}\approx0,7477+0,079577\approx0,8273\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{i}-T_{*}=130^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C}=100^\circ\mathrm{C}.
Taxa de perda de calor por metro:
q'=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{100}{0,8273}\approx120,8\\ \mathrm{W/m}.

Passo 7

Interpretação curta (motivação para a prova)
  • A maior parte da resistência térmica ficou na condução através do isolamento (aqui R_{\text{cond}} é bem maior que R_{\text{conv}}), então aumentar espessura do isolamento reduziria substancialmente a perda.
  • Em problemas de prova, use sempre a fórmula da resistência do cilindro e calcule as áreas com 2\pi r L; cuide para não confundir espessura com comprimento axial.

Resposta

q'\approx120,8\\ \mathrm{W/m}

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