3.33 Um oleoduto de 2,5 \mathrm{~cm} de diâmetro externo transporta óleo a T_{i}=150^{\circ} \mathrm{C} e está exposto a um ambiente a T_{i} =25^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência convectiva de calor h=50 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Calcule a espessura do isolamento de amianto \left[k=0,1 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right] necessário para reduzir de 50% a perda de calor do tubo.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Diâmetro externo do tubo: D_o=2{,}5\\ \text{cm}=0{,}025\\ \text{m}.
  • Temperatura do óleo (temperatura interna considerada constante): T_i=150^\circ\text{C}.
  • Temperatura do ambiente: T_\infty=25^\circ\text{C}. (Observação: o enunciado repetiu T_i duas vezes; interpretei o segundo como a temperatura ambiente.)
  • Coeficiente de convecção na superfície externa (ambiente): h=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Condutividade térmica do isolamento (amianto): k=0{,}1\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • O que pede: calcular a espessura do isolamento t necessária para reduzir em 50\% a perda de calor (isto é, o fluxo térmico por unidade de comprimento deve ficar em 50\% do valor sem isolamento).
Informações geométricas úteis:
  • Raio externo do tubo (sem isolamento): r_1=\dfrac{D_o}{2}=0{,}0125\\ \text{m}.
  • Se a espessura do isolamento for t, o raio externo do conjunto será r_2=r_1+t.

Passo 2

Modelo físico e equações básicas — por que usar resistências térmicas em série.
Explicação didática curta: em regime estacionário, a transferência de calor do óleo (temperatura T_i) para o ambiente ( T_\infty) passa por duas “barreiras” em série: condução radial através do isolamento cilíndrico e convecção na superfície externa. Cada uma tem uma resistência térmica; as resistências somam-se (como resistores em série) e o fluxo é a diferença de temperatura dividida pela resistência total.
Fórmulas (tudo por unidade de comprimento do tubo):
  • Resistência por condução radial do cilindro isolamento entre raios r_1 e r_2:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Explicando: k é a condutividade do material; a área radial varia com o raio, daí o logaritmo. A unidade de R_{\text{cond}} é \mathrm{^\circ C}\!/\mathrm{W} por metro de comprimento (porque estamos por unidade de comprimento).
  • Resistência por convecção na superfície externa de raio r_2:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_2 h}.
Explicando: a área de troca por unidade de comprimento é A=2\pi r_2\cdot 1 (comprimento unitário), e hA no denominador dá a resistência convectiva.
  • Resistência total:
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}.
  • Fluxo térmico por unidade de comprimento com isolamento:
q'_{\text{ins}}=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{tot}}}.
  • Fluxo térmico por unidade de comprimento sem isolamento (tubo nua, raio r_1): somente convecção na superfície do tubo:
q'_{\text{no}}=h\,(2\pi r_1)\,(T_i-T_\infty).
Explicando: área por unidade de comprimento é 2\pi r_1.
O objetivo numérico: escolher t (logo r_2) tal que
q'_{\text{ins}} = 0{,}5\, q'_{\text{no}}.

Passo 3

Montar a equação que determina r_2 (ou t).
Começando das expressões anteriores e cancelando \Delta T=T_i-T_\infty (não nulo):
\frac{1}{R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}}=0{,}5\;h\,(2\pi r_1).
Substituindo R_{\text{cond}} e R_{\text{conv}}:
\frac{1}{\dfrac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)+\dfrac{1}{2\pi r_2 h}} = 0{,}5\;h\,(2\pi r_1).
Invertemos ambos os lados e multiplicamos por 2\pi para simplificar:
\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) + \frac{1}{r_2 h} = \frac{2}{h r_1}.
Esta é a equação a ser resolvida numericamente para r_2. Vamos agora substituir os valores conhecidos:
  • k=0{,}1\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}),
  • h=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}),
  • r_1=0{,}0125\\ \text{m}.
Substituindo:
10\ln\!\left(\frac{r_2}{0{,}0125}\right) + \frac{1}{50\,r_2} = \frac{2}{50\times 0{,}0125}.
Calcular o lado direito:
\frac{2}{50\times 0{,}0125}=\frac{2}{0{,}625}=3{,}2.
Portanto a equação a resolver é
10\ln\!\left(\frac{r_2}{0{,}0125}\right) + \frac{1}{50\,r_2} = 3{,}2.

Passo 4

Resolver numericamente a equação (método e iterações).
Estratégia: a equação é transcendental; uso busca por encadeamento (bisseção/iteração simples) e avaliações pontuais até achar r_2 com precisão razoável. Vou avaliar a função
f(r_2)=10\ln\!\left(\frac{r_2}{0{,}0125}\right) + \frac{1}{50\,r_2} - 3{,}2,
e encontrar r_2 tal que f(r_2)=0.
Avaliações iniciais:
  • Para r_2= r_1=0{,}0125\\ \text{m}:
f(0{,}0125)=10\ln(1) + \frac{1}{50\cdot 0{,}0125}-3{,}2 = 0 + \frac{1}{0{,}625}-3{,}2 = 1{,}6-3{,}2 = -1{,}6.
(negativo)
  • Para r_2=0{,}02\\ \text{m}:
10\ln\!\left(\frac{0{,}02}{0{,}0125}\right)=10\ln(1{,}6)=10\times 0{,}4700=4{,}700,
\frac{1}{50\cdot 0{,}02}=1{,}0,
f(0{,}02)=4{,}700+1{,}0-3{,}2=2{,}5\\ (\text{positivo}).
Logo há uma raiz entre 0{,}0125\\ \text{m} e 0{,}02\\ \text{m}.
Agora afunilo com avaliações:
  • r_2=0{,}015\\ \text{m}:
\ln\!\left(\frac{0{,}015}{0{,}0125}\right)=\ln(1{,}2)=0{,}1823\Rightarrow 10\times =1{,}823.
\frac{1}{50\cdot 0{,}015}=\frac{1}{0{,}75}=1{,}3333.
f(0{,}015)=1{,}823+1{,}3333-3{,}2=-0{,}0437\\ (\text{ligeiramente negativo}).
  • r_2=0{,}016\\ \text{m}:
\ln\!\left(\frac{0{,}016}{0{,}0125}\right)=\ln(1{,}28)=0{,}2469\Rightarrow 10\times =2{,}469.
\frac{1}{50\cdot 0{,}016}=\frac{1}{0{,}8}=1{,}25.
f(0{,}016)=2{,}469+1{,}25-3{,}2=0{,}519\\ (\text{positivo}).
Raiz entre 0{,}015 e 0{,}016. Faço interpolação linear para aproximar a raiz:
  • Em r_2=0{,}015, f=-0{,}0437.
  • Em r_2=0{,}016, f=0{,}519.
    A fração relativa até a raiz é aproximadamente
\frac{0{,}0437}{0{,}0437+0{,}519}\approx\frac{0{,}0437}{0{,}5627}\approx0{,}0777.
Logo r_2\approx 0{,}015 + 0{,}001\times 0{,}0777 = 0{,}0150777\\ \text{m}.
Refino rápido avaliando r_2=0{,}01508\\ \text{m}:
\ln\!\left(\frac{0{,}01508}{0{,}0125}\right)=\ln(1{,}2064)\approx0{,}1879\Rightarrow 10\times =1{,}879.
\frac{1}{50\cdot 0{,}01508}\approx\frac{1}{0{,}754}=1{,}326.
f(0{,}01508)\approx1{,}879+1{,}326-3{,}2=0{,}005.
Muito próximo de zero. Um pequeno ajuste leva à raiz aproximadamente
r_2\approx 0{,}01508\\ \text{m}.

Passo 5

Determinar a espessura t e apresentar em unidades práticas.
  • Raio interno (externo do tubo) r_1=0{,}0125\\ \text{m}.
  • Raio externo com isolamento r_2\approx 0{,}01508\\ \text{m}.
  • Espessura do isolamento:
t=r_2-r_1 \approx 0{,}01508 - 0{,}0125 = 0{,}00258\\ \text{m}.
Em milímetros:
t\approx 2{,}58\\ \text{mm}.
Interpretação: uma camada muito fina (≈2,6 mm) de amianto com k=0{,}1\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}) é suficiente para cortar pela metade a perda de calor daquele tubo pequeno e quente, porque a resistência convectiva do ar é comparável à resistência de uma fina camada de isolamento.

Resposta

t\approx 0{,}00258\\ \text{m} \approx 2{,}58\\ \text{mm}

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