3.33 Um oleoduto de
de diâmetro externo transporta óleo a
e está exposto a um ambiente a
com um coeficiente de transferência convectiva de calor
. Calcule a espessura do isolamento de amianto
necessário para reduzir de 50% a perda de calor do tubo.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
- Diâmetro externo do tubo:
. - Temperatura do óleo (temperatura interna considerada constante):
. - Temperatura do ambiente:
. (Observação: o enunciado repetiu duas vezes; interpretei o segundo como a temperatura ambiente.) - Coeficiente de convecção na superfície externa (ambiente):
. - Condutividade térmica do isolamento (amianto):
. - O que pede: calcular a espessura do isolamento
necessária para reduzir em a perda de calor (isto é, o fluxo térmico por unidade de comprimento deve ficar em do valor sem isolamento).
Informações geométricas úteis:
- Raio externo do tubo (sem isolamento):
. - Se a espessura do isolamento for
, o raio externo do conjunto será .
Passo 2
Modelo físico e equações básicas — por que usar resistências térmicas em série.
Explicação didática curta: em regime estacionário, a transferência de calor do óleo (temperatura
) para o ambiente (
) passa por duas “barreiras” em série: condução radial através do isolamento cilíndrico e convecção na superfície externa. Cada uma tem uma resistência térmica; as resistências somam-se (como resistores em série) e o fluxo é a diferença de temperatura dividida pela resistência total.
Fórmulas (tudo por unidade de comprimento do tubo):
- Resistência por condução radial do cilindro isolamento entre raios
e :
Explicando:
é a condutividade do material; a área radial varia com o raio, daí o logaritmo. A unidade de
é
por metro de comprimento (porque estamos por unidade de comprimento).
- Resistência por convecção na superfície externa de raio
:
Explicando: a área de troca por unidade de comprimento é
(comprimento unitário), e
no denominador dá a resistência convectiva.
- Resistência total:
- Fluxo térmico por unidade de comprimento com isolamento:
- Fluxo térmico por unidade de comprimento sem isolamento (tubo nua, raio
): somente convecção na superfície do tubo:
Explicando: área por unidade de comprimento é
.
O objetivo numérico: escolher
(logo
) tal que
Passo 3
Montar a equação que determina
(ou
).
Começando das expressões anteriores e cancelando
(não nulo):
Substituindo
e
:
Invertemos ambos os lados e multiplicamos por
para simplificar:
Esta é a equação a ser resolvida numericamente para
. Vamos agora substituir os valores conhecidos:
-
, -
, -
.
Substituindo:
Calcular o lado direito:
Portanto a equação a resolver é
Passo 4
Resolver numericamente a equação (método e iterações).
Estratégia: a equação é transcendental; uso busca por encadeamento (bisseção/iteração simples) e avaliações pontuais até achar
com precisão razoável. Vou avaliar a função
e encontrar
tal que
.
Avaliações iniciais:
- Para
:
(negativo)
- Para
:
Logo há uma raiz entre
e
.
Agora afunilo com avaliações:
-
:
-
:
Raiz entre
e
. Faço interpolação linear para aproximar a raiz:
- Em
, . - Em
, .
A fração relativa até a raiz é aproximadamente
Logo
.
Refino rápido avaliando
:
Muito próximo de zero. Um pequeno ajuste leva à raiz aproximadamente
Passo 5
Determinar a espessura
e apresentar em unidades práticas.
- Raio interno (externo do tubo)
. - Raio externo com isolamento
. - Espessura do isolamento:
Em milímetros:
Interpretação: uma camada muito fina (≈2,6 mm) de amianto com
é suficiente para cortar pela metade a perda de calor daquele tubo pequeno e quente, porque a resistência convectiva do ar é comparável à resistência de uma fina camada de isolamento.