3.34 Determine a distribuição de temperatura estacionária
em uma esfera maciça de raio
, na qual se gera calor a uma taxa uniforme
e se dissipa convectivamente calor da superfície para um meio a uma temperatura
, com um coeficiente de transferéncia de calor
. Determine a expressão da temperatura no centro da esfera e o fluxo de calor na superfície.
Passo 1
O enunciado nos dá uma esfera maciça de raio
onde há geração volumétrica de calor uniforme e troca convectiva na superfície. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
-
Dados do problema:
- Raio da esfera:
. - Geração volumétrica uniforme (potência por volume):
(unidade: ). - Condutividade térmica do material da esfera:
(assumida constante). - Temperatura do fluido externo:
. - Coeficiente de convecção na superfície:
. - Estado estacionário (temperatura não muda no tempo).
- Simetria esférica (a temperatura depende só da distância radial
ao centro).
- Raio da esfera:
-
O que o enunciado pede:
- A distribuição de temperatura estacionária
para . - A expressão da temperatura no centro da esfera,
. - O fluxo de calor na superfície (fluxo por unidade de área na superfície, em
).
- A distribuição de temperatura estacionária
Passo 2
Princípio físico e equação diferencial básica (aula curta):
- Num problema estacionário, a energia gerada dentro de um volume deve ser conduzida para fora: balanço de energia local.
- Para simetria esférica e condutividade isotrópica constante
, a equação diferencial de condução com geração volumétrica é obtida aplicando balanço de energia a uma casca esférica infinitesimal. O resultado padrão é
- Aqui
representa a divergência do fluxo condutivo em coordenadas esféricas e é a fonte volumétrica (positivo quando gera calor). - Como
é constante, a equação simplifica para
Passo 3
Integração da equação diferencial (1ª integração):
- Multiplico por
e integro em relação a :
- Integrando:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Integração final e condição de regularidade no centro:
- Isolando
e integrando:
- Integrando outra vez:
com
constante de integração.
- Condição física no centro: a temperatura deve ser finita em
. O termo diverge em a menos que . Logo, pela simetria e regularidade,
- Assim a forma geral regular é
- Observação: o perfil é quadrático em
por causa da geração volumétrica uniforme.
Passo 5
Expressão do fluxo radial e interpretação (cheque físico):
- O fluxo de calor radial (por unidade de área) por condução é dado por a Lei de Fourier:
- Com
temos
portanto
- Notação:
positivo significa fluxo no sentido radial crescente (para fora). - Em particular, no contorno
,
- Checagem de energia: geração total dentro da esfera é
. O fluxo total saindo pela superfície é . Concorda — bom sinal.
Passo 6
Condição de contorno convectiva e determinação de
:
- A condição na superfície
é que o fluxo condutivo deve igualar a convecção para o meio:
- Substituindo
obtém-se
- Isolando
:
- Agora uso a expressão geral
e imponho para determinar :
Passo 7
Escrevendo a solução completa e a temperatura no centro:
- Substituindo
em dá a distribuição final
- Temperatura no centro (
):
- Fluxo de calor na superfície (já encontrado):
- Interpretação rápida: o termo
representa a subida de temperatura por condução interna devido à geração; o termo representa a elevação adicional necessária na superfície para que a convecção dissipe a energia gerada (mais relevante quando é pequeno).