3.34 Determine a distribuição de temperatura estacionária T(r) em uma esfera maciça de raio r=b, na qual se gera calor a uma taxa uniforme g_{0} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} e se dissipa convectivamente calor da superfície para um meio a uma temperatura T_{\infty}, com um coeficiente de transferéncia de calor h. Determine a expressão da temperatura no centro da esfera e o fluxo de calor na superfície.

Passo 1

O enunciado nos dá uma esfera maciça de raio b onde há geração volumétrica de calor uniforme e troca convectiva na superfície. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Dados do problema:
    • Raio da esfera: b.
    • Geração volumétrica uniforme (potência por volume): g_{0} (unidade: \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}).
    • Condutividade térmica do material da esfera: k (assumida constante).
    • Temperatura do fluido externo: T_{\infty}.
    • Coeficiente de convecção na superfície: h.
    • Estado estacionário (temperatura não muda no tempo).
    • Simetria esférica (a temperatura depende só da distância radial r ao centro).
  • O que o enunciado pede:
    1. A distribuição de temperatura estacionária T(r) para 0\le r\le b.
    2. A expressão da temperatura no centro da esfera, T(0).
    3. O fluxo de calor na superfície (fluxo por unidade de área na superfície, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).

Passo 2

Princípio físico e equação diferencial básica (aula curta):
  • Num problema estacionário, a energia gerada dentro de um volume deve ser conduzida para fora: balanço de energia local.
  • Para simetria esférica e condutividade isotrópica constante k, a equação diferencial de condução com geração volumétrica g_{0} é obtida aplicando balanço de energia a uma casca esférica infinitesimal. O resultado padrão é
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2} k \frac{dT}{dr}\right)+g_{0}=0.
  • Aqui \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2} k \frac{dT}{dr}\right) representa a divergência do fluxo condutivo em coordenadas esféricas e g_{0} é a fonte volumétrica (positivo quando gera calor).
  • Como k é constante, a equação simplifica para
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{g_{0}}{k}.

Passo 3

Integração da equação diferencial (1ª integração):
  • Multiplico por r^{2} e integro em relação a r:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{g_{0}}{k}r^{2}.
  • Integrando:
r^{2}\frac{dT}{dr}=-\frac{g_{0}}{k}\cdot\frac{r^{3}}{3}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Integração final e condição de regularidade no centro:
  • Isolando \dfrac{dT}{dr} e integrando:
\frac{dT}{dr}=-\frac{g_{0}}{3k}\,r+\frac{C_{1}}{r^{2}}.
  • Integrando outra vez:
T(r)=-\frac{g_{0}}{6k}\,r^{2}-\frac{C_{1}}{r}+C_{2},
com C_{2} constante de integração.
  • Condição física no centro: a temperatura deve ser finita em r=0. O termo -\dfrac{C_{1}}{r} diverge em r\to0 a menos que C_{1}=0. Logo, pela simetria e regularidade,
C_{1}=0.
  • Assim a forma geral regular é
T(r)=-\frac{g_{0}}{6k}\,r^{2}+C_{2}.
  • Observação: o perfil é quadrático em r por causa da geração volumétrica uniforme.

Passo 5

Expressão do fluxo radial e interpretação (cheque físico):
  • O fluxo de calor radial (por unidade de área) por condução é dado por a Lei de Fourier:
q_{r}(r)=-k\frac{dT}{dr}.
  • Com C_{1}=0 temos
\frac{dT}{dr}=-\frac{g_{0}}{3k}\,r,
portanto
q_{r}(r)=-k\left(-\frac{g_{0}}{3k}\,r\right)=\frac{g_{0}}{3}\,r.
  • Notação: q_{r}(r) positivo significa fluxo no sentido radial crescente (para fora).
  • Em particular, no contorno r=b,
q_{r}(b)=\frac{g_{0}}{3}\,b.
  • Checagem de energia: geração total dentro da esfera é g_{0}\cdot \tfrac{4}{3}\pi b^{3}. O fluxo total saindo pela superfície é q_{r}(b)\cdot 4\pi b^{2}=\dfrac{g_{0}b}{3}\cdot 4\pi b^{2}=g_{0}\cdot \tfrac{4}{3}\pi b^{3}. Concorda — bom sinal.

Passo 6

Condição de contorno convectiva e determinação de C_{2}:
  • A condição na superfície r=b é que o fluxo condutivo deve igualar a convecção para o meio:
q_{r}(b)=h\bigl(T(b)-T_{\infty}\bigr).
  • Substituindo q_{r}(b)=\dfrac{g_{0}}{3}b obtém-se
\frac{g_{0}}{3}b=h\bigl(T(b)-T_{\infty}\bigr).
  • Isolando T(b):
T(b)=T_{\infty}+\frac{g_{0}\,b}{3h}.
  • Agora uso a expressão geral T(r)=-\dfrac{g_{0}}{6k}r^{2}+C_{2} e imponho T(b) para determinar C_{2}:
C_{2}=T(b)+\frac{g_{0}}{6k}b^{2}=T_{\infty}+\frac{g_{0}\,b}{3h}+\frac{g_{0}}{6k}b^{2}.

Passo 7

Escrevendo a solução completa e a temperatura no centro:
  • Substituindo C_{2} em T(r) dá a distribuição final
T(r)=T_{\infty}+\frac{g_{0}\,b}{3h}+\frac{g_{0}}{6k}\bigl(b^{2}-r^{2}\bigr).
  • Temperatura no centro ( r=0):
T(0)=T_{\infty}+\frac{g_{0}\,b}{3h}+\frac{g_{0}}{6k}b^{2}.
  • Fluxo de calor na superfície (já encontrado):
q_{r}(b)=\frac{g_{0}}{3}\,b.
  • Interpretação rápida: o termo \dfrac{g_{0}}{6k}(b^{2}-r^{2}) representa a subida de temperatura por condução interna devido à geração; o termo \dfrac{g_{0}b}{3h} representa a elevação adicional necessária na superfície para que a convecção dissipe a energia gerada (mais relevante quando h é pequeno).

Resposta

T(r)=T_{\infty}+\frac{g_{0}\,b}{3h}+\frac{g_{0}}{6k}\bigl(b^{2}-r^{2}\bigr)
T(0)=T_{\infty}+\frac{g_{0}\,b}{3h}+\frac{g_{0}}{6k}b^{2}
q_{r}(b)=\frac{g_{0}}{3}\,b

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