2-35 A water tank is completely filled with liquid water at
. The tank material is such that it can withstand tension caused by a volume expansion of 2 percent. Determine the maximum temperature rise allowed without jeopardizing safety.
Passo 1
O enunciado: o tanque está completamente cheio de água líquida à temperatura inicial de
. O material do tanque suporta a tensão decorrente de uma expansão volumétrica máxima de
. A pergunta é: qual é a máxima elevação de temperatura permitida (ou seja,
) sem comprometer a segurança?
Informações dadas e relevantes:
Informações dadas e relevantes:
- Temperatura inicial:
. - Expansão volumétrica máxima permitida:
.
Não há outros dados numéricos no enunciado (por exemplo, uma tabela de propriedades da água), portanto usaremos um procedimento padrão para líquidos.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta): para um líquido submetido a aquecimento a pressão aproximadamente constante, a variação relativa do volume é dada por
onde
é o coeficiente volumétrico de expansão térmica do líquido e tem unidade
. Aqui:
-
é a fração (adimensional) de aumento de volume. -
é a variação de temperatura em . -
é definido por .
Essa fórmula é uma aproximação linear válida quandonão muda muito no intervalo de temperatura considerado. Vou explicar o porquê é razoável usá-la: para pequenos a médios podemos aproximar a integral exata por . No nosso caso o enunciado não fornece variação de , então adotamos um valor típico na vizinhança de .
Passo 3
Escolha do valor de
para água e justificativa: valores tabulados mostram que o coeficiente volumétrico da água por volta de
é aproximadamente
Vou usar esse valor como representação do comportamento médio até a temperatura limite que vamos obter. Observação didática:
da água varia com a temperatura (a água tem comportamento não-linear), então o resultado será uma boa estimativa. Se a prova pedisse maior precisão seria necessário usar uma tabela de densidades e integrar
.
Passo 4
Aplicando a relação
e isolando
:
Substituindo os números (
e
):
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo:
Arredondando com razoável precisão para duas casas decimais:
. Em notação com vírgula (conforme convenção usada aqui):
.
Passo 6
Interpretação final e observações práticas (pra te deixar confiante na prova): a elevação de temperatura máxima permitida é cerca de
. Isso significa que a temperatura final da água no tanque seria aproximadamente
Nota importante: embora
seja maior que
, a água só ferveria se a pressão fosse a atmosférica; num tanque fechado a pressão aumenta e a água pode permanecer líquida. Também ressalto que por
variar com
o valor dado é uma estimativa; para maior precisão usa-se tabela de densidades e calcula-se
diretamente a partir de
.