2-35 A water tank is completely filled with liquid water at 20^{\circ} \mathrm{C}. The tank material is such that it can withstand tension caused by a volume expansion of 2 percent. Determine the maximum temperature rise allowed without jeopardizing safety.

Passo 1

O enunciado: o tanque está completamente cheio de água líquida à temperatura inicial de 20^\circ\mathrm{C}. O material do tanque suporta a tensão decorrente de uma expansão volumétrica máxima de 2\%. A pergunta é: qual é a máxima elevação de temperatura permitida (ou seja, \Delta T_{\max}) sem comprometer a segurança?
Informações dadas e relevantes:
  • Temperatura inicial: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Expansão volumétrica máxima permitida: \dfrac{\Delta V}{V}=0,02.
    Não há outros dados numéricos no enunciado (por exemplo, uma tabela de propriedades da água), portanto usaremos um procedimento padrão para líquidos.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta): para um líquido submetido a aquecimento a pressão aproximadamente constante, a variação relativa do volume é dada por
\frac{\Delta V}{V}\approx \beta\,\Delta T,
onde \beta é o coeficiente volumétrico de expansão térmica do líquido e tem unidade \mathrm{^\circ C^{-1}}. Aqui:
  • \Delta V/V é a fração (adimensional) de aumento de volume.
  • \Delta T é a variação de temperatura em \mathrm{^\circ C}.
  • \beta é definido por \beta=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p.
    Essa fórmula é uma aproximação linear válida quando \beta não muda muito no intervalo de temperatura considerado. Vou explicar o porquê é razoável usá-la: para pequenos a médios \Delta T podemos aproximar a integral exata por \beta_{\text{média}}\Delta Té. No nosso caso o enunciado não fornece variação de \beta, então adotamos um valor típico na vizinhança de 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Escolha do valor de \beta para água e justificativa: valores tabulados mostram que o coeficiente volumétrico da água por volta de 20^\circ\mathrm{C} é aproximadamente
\beta \approx 2{,}14\times 10^{-4}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.
Vou usar esse valor como representação do comportamento médio até a temperatura limite que vamos obter. Observação didática: \beta da água varia com a temperatura (a água tem comportamento não-linear), então o resultado será uma boa estimativa. Se a prova pedisse maior precisão seria necessário usar uma tabela de densidades e integrar \beta(T).

Passo 4

Aplicando a relação \dfrac{\Delta V}{V}=\beta\,\Delta T e isolando \Delta T:
\Delta T=\frac{\Delta V/V}{\beta}.
Substituindo os números ( \Delta V/V=0,02 e \beta=2{,}14\times 10^{-4}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}):
\Delta T=\frac{0,02}{2{,}14\times 10^{-4}}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
2{,}14\times 10^{-4}=0{,}000214.
\Delta T=\frac{0,02}{0{,}000214}\approx 93{,}4579\\ \mathrm{^\circ C}.
Arredondando com razoável precisão para duas casas decimais: \Delta T\approx 93{,}46^\circ\mathrm{C}. Em notação com vírgula (conforme convenção usada aqui): \Delta T\approx 93,46^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação final e observações práticas (pra te deixar confiante na prova): a elevação de temperatura máxima permitida é cerca de 93{,}5^\circ\mathrm{C}. Isso significa que a temperatura final da água no tanque seria aproximadamente
T_{\text{final}}=20^\circ\mathrm{C}+\Delta T \approx 113{,}5^\circ\mathrm{C}.
Nota importante: embora 113{,}5^\circ\mathrm{C} seja maior que 100^\circ\mathrm{C}, a água só ferveria se a pressão fosse a atmosférica; num tanque fechado a pressão aumenta e a água pode permanecer líquida. Também ressalto que por \beta variar com T o valor dado é uma estimativa; para maior precisão usa-se tabela de densidades e calcula-se \Delta V/V diretamente a partir de v(T)=1/\rho(T).

Resposta

\Delta T_{\max}\approx 93{,}46^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados