1. A 328 K , a pressão total na decomposição de pentóxido de dinitrogênio a \mathrm{NO}_{2} e \mathrm{O}_{2} variou com o tempo como mostrado nos dados seguintes. Use os dados para achar a velocidade em \mathrm{mol} . \mathrm{L}^{-1} . \mathrm{min}^{-1} a cada tempo. Determine a ordem e a constante de velocidade da reação.
Tempo, min Pressão, kPa
0 27,3
5 43,7
10 53,6
15 59,4
20 63,0
30 66,0

Passo 1

O enunciado dá a temperatura e a tabela de pressão total em função do tempo (peguei os números da tabela enviada). Dados relevantes:
  • Temperatura: \,T=328\\ \text{K}.
  • Constante dos gases: \,R=8{,}314\\ \text{kPa·L·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} (usada para converter pressão em concentração).
  • Tabela (tempo em min, pressão em kPa):
    • t=0: P=27{,}3
    • t=5: P=43{,}7
    • t=10: P=53{,}6
    • t=15: P=59{,}4
    • t=20: P=63{,}0
    • t=30: P=66{,}0
O que o exercício pede:
  1. Usar os dados para achar a velocidade (taxa) em \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1} em cada tempo.
  2. Determinar a ordem da reação e a constante de velocidade.

Passo 2

Entender a relação entre pressão total e concentrações: a reação de decomposição pode ser escrita (fazendo a escala por 1 mol de N2O5):
\mathrm{N_2O_5} \longrightarrow 2\,\mathrm{NO_2} + \tfrac{1}{2}\,\mathrm{O_2}.
Por cada mol de \mathrm{N_2O_5} consumido, o número total de mols gasosos aumenta de +1{,}5. Se [N_2O_5]_0 é a concentração inicial de \mathrm{N_2O_5} e \xi é a extensão (mol·L^{-1} de N2O5 reagido), então a concentração total de gases é
C_{\text{total}} = [N_2O_5]_0 + 1{,}5\,\xi.
Pela equação dos gases ideais, a concentração total é proporcional à pressão total:
C_{\text{total}}=\frac{P}{R T}.
Igualando e resolvendo para [N_2O_5](t) em função de P(t) obtém-se uma expressão direta que usaremos na prática (mostro no passo seguinte).

Passo 3

Deduzir fórmula prática para [N_2O_5](t) e para a velocidade de consumo de \mathrm{N_2O_5}.
Defina C_0=\dfrac{P_0}{RT} com P_0 pressão inicial (em kPa). A relação entre a concentração de \mathrm{N_2O_5} e a pressão total P(t) é
[N_2O_5](t)=C_0-\xi(t), \qquad \text{com }\\ \xi(t)=\frac{C_{\text{total}}(t)-C_0}{1{,}5}=\frac{1}{1{,}5}\left(\frac{P(t)-P_0}{RT}\right).
Substituindo:
[N_2O_5](t)=\frac{1}{RT}\Bigg(P_0-\frac{2}{3}P(t)+\frac{2}{3}P_0\Bigg) =\frac{1}{RT}\Bigg(\frac{5}{3}P_0-\frac{2}{3}P(t)\Bigg).
Diferenciando em relação ao tempo, a taxa de consumo (velocidade) de \mathrm{N_2O_5} é
-\frac{d[N_2O_5]}{dt}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{RT}\cdot\frac{dP}{dt}.
Essa é a expressão que vou usar para obter a velocidade numérica a partir de \dfrac{dP}{dt}. Observação: todo cálculo a seguir usa R=8{,}314\\ \text{kPa·L·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} e T=328\\ \text{K}, então
RT = 8{,}314\times328 = 2726{,}992\\ \text{kPa·L·mol}^{-1}
e
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{RT}\\ =\\\ 0{,}000244552\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·kPa}^{-1}.

Passo 4

Calcular as derivadas \dfrac{dP}{dt} a partir dos dados (diferenças finitas). Vou usar diferença progressiva no primeiro ponto, retroativa no último e diferenças centrais nos pontos internos (diferença centrada usando pontos simétricos quando possível). Passos:
  • t=0: \dfrac{dP}{dt}\approx\frac{P(5)-P(0)}{5-0}=\dfrac{43{,}7-27{,}3}{5}=3{,}28\\ \text{kPa·min}^{-1}.
  • t=5: central entre 0 e 10: \dfrac{P(10)-P(0)}{10-0}=\dfrac{53{,}6-27{,}3}{10}=2{,}63\\ \text{kPa·min}^{-1}.
  • t=10: central entre 5 e 15: \dfrac{59{,}4-43{,}7}{10}=1{,}57\\ \text{kPa·min}^{-1}.
  • t=15: central entre 10 e 20: \dfrac{63{,}0-53{,}6}{10}=0{,}94\\ \text{kPa·min}^{-1}.
  • t=20: central entre 10 e 30 (porque os pontos disponíveis mais simétricos): \dfrac{66{,}0-53{,}6}{20}=0{,}62\\ \text{kPa·min}^{-1}.
  • t=30: retroativo: \dfrac{66{,}0-63{,}0}{10}=0{,}30\\ \text{kPa·min}^{-1}.

Passo 5

Converter cada \dfrac{dP}{dt} na velocidade de consumo de \mathrm{N_2O_5} usando
-\frac{d[N_2O_5]}{dt}=\left(\frac{2}{3}\frac{1}{RT}\right)\frac{dP}{dt} =0{,}000244552\cdot\frac{dP}{dt}\\ (\text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}).
Calculemos os valores (arredondando a 3 algarismos significativos):
  • t=0: \dfrac{dP}{dt}=3{,}28\Rightarrow -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=0{,}000244552\times3{,}28=8{,}02\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}.
  • t=5: \dfrac{dP}{dt}=2{,}63\Rightarrow -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=6{,}43\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}.
  • t=10: \dfrac{dP}{dt}=1{,}57\Rightarrow -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=3{,}83\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}.
  • t=15: \dfrac{dP}{dt}=0{,}94\Rightarrow -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=2{,}30\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}.
  • t=20: \dfrac{dP}{dt}=0{,}62\Rightarrow -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=1{,}52\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}.
  • t=30: \dfrac{dP}{dt}=0{,}30\Rightarrow -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=7{,}34\times10^{-5}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}.
Esses são os valores da velocidade (consumo de \mathrm{N_2O_5}) em cada tempo.

Passo 6

Determinar a ordem e a constante de velocidade. Método didático:
  • Hipótese mais comum para decomposição: teste de primeira ordem. A lei integrada de primeira ordem é
\ln\big([N_2O_5](t)\big)=\ln\big([N_2O_5]_0\big)-k\,t.
Se \ln([N_2O_5]) vs t for aproximadamente uma reta, a reação é de primeira ordem e o coeficiente angular da reta é -k.
Para isso preciso das concentrações [N_2O_5](t). Usei a expressão do passo 3:
[N_2O_5](t)=\frac{1}{RT}\Big(\frac{5}{3}P_0-\frac{2}{3}P(t)\Big).
Calculando (com 1/(RT)=0{,}000366828\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·kPa}^{-1}):
  • [N_2O_5](0)=0{,}01001\\ \text{mol·L}^{-1}
  • [N_2O_5](5)=0{,}00600\\ \text{mol·L}^{-1}
  • [N_2O_5](10)=0{,}00358\\ \text{mol·L}^{-1}
  • [N_2O_5](15)=0{,}00216\\ \text{mol·L}^{-1}
  • [N_2O_5](20)=0{,}00128\\ \text{mol·L}^{-1}
  • [N_2O_5](30)=0{,}000550\\ \text{mol·L}^{-1}
Calculei \ln([N_2O_5]) para cada tempo e ajustei uma reta (método dos mínimos quadrados) \ln([N_2O_5]) = \ln([N_2O_5]_0) - k t. O coeficiente angular encontrado foi aproximadamente -0{,}0976\\ \text{min}^{-1}, portanto
k\approx 0{,}0976\\ \text{min}^{-1}.
A conclusão prática: os pontos \ln([N_2O_5]) versus t ajustam bem uma reta, então a reação comporta-se como primeira ordem com constante k acima.

Passo 7

Resumo interpretativo e encorajamento: a velocidade diminui com o tempo (conforme os números), isso indica que a velocidade depende da concentração do reagente — comportamento compatível com cinética de primeira ordem para esta decomposição. A constante k tem unidade \text{min}^{-1} porque usei tempo em minutos.

Resposta

t=0: -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=8{,}02\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}
t=5: -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=6{,}43\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}
t=10: -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=3{,}83\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}
t=15: -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=2{,}30\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}
t=20: -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=1{,}52\times10^{-4}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}
t=30: -\dfrac{d[N_2O_5]}{dt}=7{,}34\times10^{-5}\\ \text{mol·L}^{-1}\text{·min}^{-1}
Ordem da reação: primeira ordem.
Constante de velocidade: k\approx 0{,}0976\\ \text{min}^{-1}.

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