32-As massas \mathrm{m}_{1} e \mathrm{m}_{2} estão ligadas por um fio flexível e inextensível,apoiado sobre uma polia ideal.Inicialmente, \mathrm{m}_{1} é mantida sobre a mesa.Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} .A razão da tração no fio( \mathrm{T}_{1} ),enquanto \mathrm{m}_{1} é mantida sobre a mesa, para a tração no fio( T_{2} ),após m1 ser liberada,é:
a) 1 / 2
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores das massas da imagem fornecida).
  • Dados fornecidos:
    • m_{1}=1,0\\ \mathrm{kg} (massa apoiada sobre a mesa). (peguei este valor da imagem)
    • m_{2}=3,0\\ \mathrm{kg} (massa pendurada). (peguei este valor da imagem)
    • g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • A polia é ideal e o fio é inextensível e sem massa (ou seja, mesma tensão ao longo do fio em cada situação, despreza-se atrito na polia).
  • Condições iniciais:
    • Enquanto m_{1} é mantida sobre a mesa, o sistema está em equilíbrio ( m_{2} também está parado).
    • Depois m_{1} é liberada e o sistema passa a acelerar.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a razão entre a tração no fio enquanto m_{1} é mantida sobre a mesa, chamada T_{1}, e a tração no fio após m_{1} ser liberada, chamada T_{2}. Ou seja, encontrar \dfrac{T_{1}}{T_{2}}.

Passo 2

Entender fisicamente cada situação e a fórmula que vamos usar.
  • Enquanto m_{1} é mantida parada, m_{2} está em equilíbrio estático: as forças que atuam em m_{2} (peso e tração) se equilibram. Nesse caso a tração no fio vale o peso de m_{2}.
  • Depois de soltar m_{1}, o sistema acelera: m_{2} puxa para baixo e m_{1} é puxada horizontalmente. Aplicamos a segunda lei de Newton ( \sum F = m a) em cada massa para obter equações que envolvem a mesma aceleração a e a tensão T_{2}.

Passo 3

Calcular T_{1} (tração enquanto m_{1} é mantida sobre a mesa).
  • Em equilíbrio para m_{2} vale:
T_{1}=m_{2}\,g.
  • Substituindo os valores (peguei m_{2}=3,0\\ \mathrm{kg} da imagem e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}):
T_{1}=3,0\cdot10=30\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Montar as equações de movimento para o sistema após a liberação (situação do T_{2}).
  • Para m_{2} (movendo-se para baixo): as forças verticais são o peso para baixo m_{2}g e a tração T_{2} para cima. Pela segunda lei:
m_{2}g-T_{2}=m_{2}a.
  • Para m_{1} (movendo-se horizontalmente para a direita, supondo mesa sem atrito): a única força horizontal é a tração T_{2}. Pela segunda lei:
T_{2}=m_{1}a.
  • Aqui a é a aceleração comum do sistema e T_{2} é a tensão durante o movimento.

Passo 5

Resolver o sistema de equações para encontrar T_{2}.
  • Da equação de m_{1} temos:
a=\frac{T_{2}}{m_{1}}.
  • Substituindo esse a na equação de m_{2}:
m_{2}g-T_{2}=m_{2}\left(\frac{T_{2}}{m_{1}}\right).
  • Isolando T_{2}:
m_{2}g = T_{2}\left(1+\frac{m_{2}}{m_{1}}\right).
  • Portanto
T_{2}=\frac{m_{2}g}{1+\dfrac{m_{2}}{m_{1}}}.
  • Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por m_{1}):
T_{2}=\frac{m_{1}m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}.

Passo 6

Calcular numericamente T_{2} usando m_{1}=1,0\\ \mathrm{kg} e m_{2}=3,0\\ \mathrm{kg} (peguei estes valores da imagem).
T_{2}=\frac{1,0\cdot3,0\cdot10}{1,0+3,0}=\frac{30}{4}=7,5\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular a razão pedida \dfrac{T_{1}}{T_{2}}.
  • Já temos T_{1}=30\\ \mathrm{N} e T_{2}=7,5\\ \mathrm{N}. Então
\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{30}{7,5}=4.

Passo 8

Interpretação final e correspondência com as alternativas.
  • A razão \dfrac{T_{1}}{T_{2}} vale 4, que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) 4

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