38-No instante em que iniciamos a medida do tempo de movimento de um corpo que desce um plano inclinado perfeitamente liso,o módulo de sua velocidade é de
. Após 4 s ,módulo da velocidade desse corpo é 3,5 vezes o módulo de sua velocidade no final do primeiro segundo. Adotando
,a inclinação do plano(ângulo que o plano inclinado forma com a horizontal)é dada pelo ângulo cujo seno vale:
a) 0,87
b) 0,71
c) 0,68
d) 0,60
a) 0,87
b) 0,71
c) 0,68
d) 0,60
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
- No instante em que iniciamos a medida do tempo, o módulo da velocidade do corpo é
. - Após
(ou seja, no instante ), o módulo da velocidade desse corpo é vezes o módulo da sua velocidade no final do primeiro segundo (isto é, ). - Adotar
.
O que o enunciado pede: determinar o seno do ângulo de inclinação do plano, isto é, encontrar.
Passo 2
Conceito de movimento com aceleração constante (aqui é o caso): quando a aceleração é constante, a velocidade em um instante
é dada pela fórmula
onde:
-
é a velocidade no instante ; -
é a velocidade inicial (no instante ); -
é a aceleração (constante); -
é o tempo decorrido desde .
Explicando por que usamos isso: o corpo desce um plano inclinado perfeitamente liso (sem atrito) e a componente da aceleração ao longo do plano é constante, logo podemos aplicar essa fórmula diretamente.
Passo 3
Relação entre aceleração ao longo do plano e
: o peso do corpo tem componente paralela ao plano igual a
. Pela segunda lei de Newton,
. Cancelando
,
Aqui:
-
é a aceleração ao longo do plano (aumenta a velocidade ao descer); -
é a aceleração da gravidade (dada ); -
é o ângulo do plano com a horizontal.
Portanto, quando encontrarmos, teremos .
Passo 4
Agora escrevemos as velocidades nos instantes relevantes usando
.
- A velocidade inicial (no instante
) é . - No final do primeiro segundo (
):
- No instante
:
Pelo enunciado,
. Substituindo as expressões:
Passo 5
Resolver a equação para
. Desenvolvendo:
Passos algébricos claros:
Passo 6
Calcular
usando
. Como
e
,
Passo 7
Verificação rápida com números: com
, temos
e
. A razão
, que confere com o enunciado — portanto o cálculo está consistente.
Passo 8
Observação sobre as alternativas: o valor encontrado é
. Nenhuma das alternativas fornecidas (a)
, (b)
, (c)
, (d)
é igual a
.