38-No instante em que iniciamos a medida do tempo de movimento de um corpo que desce um plano inclinado perfeitamente liso,o módulo de sua velocidade é de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} . Após 4 s ,módulo da velocidade desse corpo é 3,5 vezes o módulo de sua velocidade no final do primeiro segundo. Adotando \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ,a inclinação do plano(ângulo que o plano inclinado forma com a horizontal)é dada pelo ângulo cujo seno vale:
a) 0,87
b) 0,71
c) 0,68
d) 0,60

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
  • No instante em que iniciamos a medida do tempo, o módulo da velocidade do corpo é \,1\\ \mathrm{m/s}.
  • Após 4\\ \mathrm{s} (ou seja, no instante t=4\\ \mathrm{s}), o módulo da velocidade desse corpo é 3{,}5 vezes o módulo da sua velocidade no final do primeiro segundo (isto é, v(4)=3{,}5\,v(1)).
  • Adotar g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
    O que o enunciado pede: determinar o seno do ângulo de inclinação do plano, isto é, encontrar \sin\theta.

Passo 2

Conceito de movimento com aceleração constante (aqui é o caso): quando a aceleração é constante, a velocidade em um instante t é dada pela fórmula
v(t)=v_0+a\,t,
onde:
  • v(t) é a velocidade no instante t;
  • v_0 é a velocidade inicial (no instante t=0);
  • a é a aceleração (constante);
  • t é o tempo decorrido desde t=0.
Explicando por que usamos isso: o corpo desce um plano inclinado perfeitamente liso (sem atrito) e a componente da aceleração ao longo do plano é constante, logo podemos aplicar essa fórmula diretamente.

Passo 3

Relação entre aceleração ao longo do plano e \sin\theta: o peso do corpo tem componente paralela ao plano igual a mg\sin\theta. Pela segunda lei de Newton, m a = mg\sin\theta. Cancelando m,
a=g\sin\theta.
Aqui:
  • a é a aceleração ao longo do plano (aumenta a velocidade ao descer);
  • g é a aceleração da gravidade (dada 10\\ \mathrm{m/s^2});
  • \theta é o ângulo do plano com a horizontal.
    Portanto, quando encontrarmos a, teremos \sin\theta=\dfrac{a}{g}.

Passo 4

Agora escrevemos as velocidades nos instantes relevantes usando v(t)=v_0+a t.
  • A velocidade inicial (no instante t=0) é v_0=1\\ \mathrm{m/s}.
  • No final do primeiro segundo ( t=1\\ \mathrm{s}):
v(1)=1+a\cdot 1=1+a.
  • No instante t=4\\ \mathrm{s}:
v(4)=1+a\cdot 4=1+4a.
Pelo enunciado, v(4)=3{,}5\,v(1). Substituindo as expressões:
1+4a=3{,}5\,(1+a).

Passo 5

Resolver a equação para a. Desenvolvendo:
1+4a=3{,}5+3{,}5a.
Passos algébricos claros:
4a-3{,}5a=3{,}5-1
0{,}5a=2{,}5
a=\frac{2{,}5}{0{,}5}=5\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Calcular \sin\theta usando a=g\sin\theta. Como g=10\\ \mathrm{m/s^2} e a=5\\ \mathrm{m/s^2},
\sin\theta=\frac{a}{g}=\frac{5}{10}=0,5.

Passo 7

Verificação rápida com números: com a=5, temos v(1)=1+5=6\\ \mathrm{m/s} e v(4)=1+4\cdot5=21\\ \mathrm{m/s}. A razão v(4)/v(1)=21/6=3{,}5, que confere com o enunciado — portanto o cálculo está consistente.

Passo 8

Observação sobre as alternativas: o valor encontrado é \sin\theta=0,5. Nenhuma das alternativas fornecidas (a) 0{,}87, (b) 0{,}71, (c) 0{,}68, (d) 0{,}60 é igual a 0{,}5.

Resposta

\sin\theta=0,5

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