33-44
(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
35. f(x)=2+2 x^{2}-x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede duas coisas:
  • (a) Determinar os intervalos onde f é crescente ou decrescente.
  • (b) Encontrar os valores locais máximo e mínimo (ou seja, pontos críticos com seus valores).
    A função fornecida é
f(x)=2+2x^{2}-x^{4}.
Não há outras informações. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Ideia útil (aula rápida): para saber onde uma função é crescente ou decrescente usamos a derivada. A derivada f'(x) representa a inclinação da reta tangente em x. Regras práticas:
  • Se f'(x)>0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo.
  • Se f'(x)<0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo.
  • Pontos onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe são os pontos críticos — aí pode haver máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
    Agora vamos calcular a derivada de f passo a passo. Derivadas básicas usadas:
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
    Aplicando isso a cada termo:
\frac{d}{dx}(2)=0,\qquad \frac{d}{dx}(2x^{2})=4x,\qquad \frac{d}{dx}(-x^{4})=-4x^{3}.
Então
f'(x)=4x-4x^{3}.

Passo 3

Fatorando a derivada para facilitar o estudo do sinal:
f'(x)=4x-4x^{3}=4x(1-x^{2})=4x(1-x)(1+x).
As raízes (pontos onde f'(x)=0) são as soluções de 4x(1-x)(1+x)=0, isto é,
x=-1,\quad x=0,\quad x=1.
Como f é polinomial, f'(x) existe para todo x, então esses três são todos os pontos críticos.

Passo 4

Agora vamos fazer um estudo de sinal de f'(x). Os pontos críticos dividem a reta em quatro intervalos:
(-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (1,\infty).
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e avaliamos o sinal dos fatores 4x, 1-x e 1+x.
  • Em x=-2 (intervalo (- \infty,-1)): 4x<0, 1-x>0, 1+x<0. Produto: (-)\cdot(+)\cdot(-)=(+). Logo f'(x)>0 ali (crescente).
  • Em x=-\tfrac{1}{2} (intervalo (-1,0)): 4x<0, 1-x>0, 1+x>0. Produto: (-)\cdot(+)\cdot(+)=(-). Logo f'(x)<0 ali (decrescente).
  • Em x=\tfrac{1}{2} (intervalo (0,1)): 4x>0, 1-x>0, 1+x>0. Produto: (+)\cdot(+)\cdot(+)= (+). Logo f'(x)>0 ali (crescente).
  • Em x=2 (intervalo (1,\infty)): 4x>0, 1-x<0, 1+x>0. Produto: (+)\cdot(-)\cdot(+)=(-). Logo f'(x)<0 ali (decrescente).
Portanto concluímos:
  • f é crescente em (- \infty,-1) e em (0,1).
  • f é decrescente em (-1,0) e em (1,\infty).

Passo 5

Agora identificamos máximos e mínimos locais usando o teste da derivada (mudança de sinal de f'):
  • Em x=-1: f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso indica um máximo local em x=-1.
  • Em x=0: f' passa de negativo para positivo. Isso indica um mínimo local em x=0.
  • Em x=1: f' passa de positivo para negativo. Isso indica um máximo local em x=1.

Passo 6

Calculamos os valores da função nesses pontos para obter os valores máximos e mínimos (isso é o que a prova normalmente pede: o ponto e o valor da função).
A função é \,f(x)=2+2x^{2}-x^{4}.
  • Em x=-1: x^{2}=1, x^{4}=1, então
f(-1)=2+2\cdot 1-1=3.
  • Em x=0: x^{2}=0, x^{4}=0, então
f(0)=2+0-0=2.
  • Em x=1: mesmo que em -1,
f(1)=3.
Portanto há máximos locais de valor 3 em x=-1 e x=1, e um mínimo local de valor 2 em x=0.

Passo 7

Resumo final e forma como escrever na prova:
  • Liste os intervalos de crescimento/decrescimento com as notações de intervalo.
  • Indique os pontos críticos e calcule f nesses pontos para reportar os valores locais.

Resposta

(a) Crescente em (- \infty,-1) e em (0,1). Decrescente em (-1,0) e em (1,\infty).
(b) Máximos locais: f(-1)=3 e f(1)=3. Mínimo local: f(0)=2.

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