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(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
35.
(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
35.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Determinar os intervalos onde
é crescente ou decrescente. - (b) Encontrar os valores locais máximo e mínimo (ou seja, pontos críticos com seus valores).
A função fornecida é
Não há outras informações. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Ideia útil (aula rápida): para saber onde uma função é crescente ou decrescente usamos a derivada. A derivada
representa a inclinação da reta tangente em
. Regras práticas:
- Se
em um intervalo, então é crescente nesse intervalo. - Se
em um intervalo, então é decrescente nesse intervalo. - Pontos onde
ou não existe são os pontos críticos — aí pode haver máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Agora vamos calcular a derivada depasso a passo. Derivadas básicas usadas: - A derivada de uma constante é
. - A derivada de
é .
Aplicando isso a cada termo:
Então
Passo 3
Fatorando a derivada para facilitar o estudo do sinal:
As raízes (pontos onde
) são as soluções de
, isto é,
Como
é polinomial,
existe para todo
, então esses três são todos os pontos críticos.
Passo 4
Agora vamos fazer um estudo de sinal de
. Os pontos críticos dividem a reta em quatro intervalos:
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e avaliamos o sinal dos fatores
,
e
.
- Em
(intervalo ): , , . Produto: . Logo ali (crescente). - Em
(intervalo ): , , . Produto: . Logo ali (decrescente). - Em
(intervalo ): , , . Produto: . Logo ali (crescente). - Em
(intervalo ): , , . Produto: . Logo ali (decrescente).
Portanto concluímos:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em e em .
Passo 5
Agora identificamos máximos e mínimos locais usando o teste da derivada (mudança de sinal de
):
- Em
: passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso indica um máximo local em . - Em
: passa de negativo para positivo. Isso indica um mínimo local em . - Em
: passa de positivo para negativo. Isso indica um máximo local em .
Passo 6
Calculamos os valores da função nesses pontos para obter os valores máximos e mínimos (isso é o que a prova normalmente pede: o ponto e o valor da função).
A função é .
A função é
- Em
: , , então
- Em
: , , então
- Em
: mesmo que em ,
Portanto há máximos locais de valor
em
e
, e um mínimo local de valor
em
.
Passo 7
Resumo final e forma como escrever na prova:
- Liste os intervalos de crescimento/decrescimento com as notações de intervalo.
- Indique os pontos críticos e calcule
nesses pontos para reportar os valores locais.
Resposta
(a) Crescente em
e em
. Decrescente em
e em
.
(b) Máximos locais: e
. Mínimo local:
.
(b) Máximos locais: