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(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
40.
(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
40.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
(a) Encontrar os intervalos em que
é crescente ou decrescente.
(b) Encontrar os valores locais de máximo e mínimo (ou seja, os pontos críticos que são máximos ou mínimos locais e seus valores).
Informações relevantes do enunciado: a própria expressão de
. Não há restrição no domínio explícita, logo o domínio é todo
(a potência com expoente
usa a raiz cúbica e está bem definida para números negativos também).
Passo 2
Conceitos essenciais (mini-aula rápida e prática):
-
Se uma função
é diferenciável em um intervalo e sua derivada nesse intervalo, então é crescente nele. Se , então é decrescente. Isso é chamado de teste da primeira derivada. -
Pontos críticos são pontos onde
ou onde não existe. Para classificá-los como máximo ou mínimo local, usamos o teste da primeira derivada: se muda de positivo para negativo passando pelo ponto, é máximo; se muda de negativo para positivo, é mínimo. -
Regra de derivação para potência: para
qualquer real, a derivada de (quando faz sentido) é
No caso de expoentes fracionários, essa fórmula vale para
quando o expoente resultante produz potência com expoente negativo (porque aí aparece
no denominador). No nosso caso vamos usar isso com
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
passo a passo usando a regra do passo anterior.
A função é
Derivando termo a termo:
Simplificando
, obtemos
Derivando
temos
. Assim a derivada de
para
(onde a expressão
faz sentido) é
Observação importante: em
a expressão
corresponde a divisão por zero, então
não existe em
. Assim
é um candidato a ponto crítico (porque derivada inexistente).
Passo 4
Encontrar pontos críticos: resolvemos
e também consideramos onde
não existe.
-
Onde
não existe: já concluímos que não existe em . Logo é ponto crítico. -
Onde
:
Isolando:
Invertendo ambos os lados (atenção ao sinal; aqui tudo é positivo porque vamos obter raiz cúbica positiva):
Elevando ao cubo:
Portanto
é outro ponto crítico.
Conclusão intermediária: os pontos críticos são
(onde
não existe) e
(onde
).
Passo 5
Agora vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos, ou seja, nos intervalos
,
e
. Vou explicar como raciocinar sem calculadora.
Lembrete:
é a raiz cúbica real de
. Para
temos
; para
temos
.
- Intervalo
. Aqui . Então é um número negativo (pois dividimos por um número negativo). Logo é negativo menos , portanto negativo. Assim para todo . Conclusão: é decrescente em .
(Se quiser verificar com um exemplo concreto: para
temos
, então
.)
- Intervalo
. Aqui varia de a (não incluindo as extremidades). Como , temos . Portanto . Assim em . Conclusão: é crescente em .
(Exemplo numérico: para
temos
.)
- Intervalo
. Aqui . Então , logo . Assim em . Conclusão: é decrescente em .
(Exemplo numérico: para
temos
e
.)
Passo 6
Resumo da monotonicidade (juntando os resultados do passo 5):
-
é decrescente em . -
é crescente em . -
é decrescente em .
Esses são os intervalos pedidoss na letra (a).
Passo 7
Classificação dos pontos críticos pela mudança de sinal de
(teste da primeira derivada):
-
Em
: à esquerda de temos e à direita de temos . Mudança de negativo para positivo indica que é um mínimo local. -
Em
: à esquerda de temos e à direita de temos . Mudança de positivo para negativo indica que é um máximo local.
Vamos calcular os valores da função nesses pontos:
Para
, usamos que
então
. Logo
Portanto:
- Mínimo local em
com valor . - Máximo local em
com valor .
Observação adicional (didática): em
a derivada não existe e a curva tem uma “pontinha” (cúspide suave) — mesmo assim pela mudança de sinal de
é um mínimo local.
Resposta
(a)
é decrescente em
, crescente em
e decrescente em
.
(b) Mínimo local em
com
.\nMáximo local em
com
.