33-44
(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
40. B(x)=3 x^{2 / 3}-x

Passo 1

O enunciado dá a função
B(x)=3x^{2/3}-x
e pede duas coisas:
(a) Encontrar os intervalos em que B é crescente ou decrescente.
(b) Encontrar os valores locais de máximo e mínimo (ou seja, os pontos críticos que são máximos ou mínimos locais e seus valores).
Informações relevantes do enunciado: a própria expressão de B(x). Não há restrição no domínio explícita, logo o domínio é todo \mathbb{R} (a potência com expoente 2/3 usa a raiz cúbica e está bem definida para números negativos também).

Passo 2

Conceitos essenciais (mini-aula rápida e prática):
  1. Se uma função f é diferenciável em um intervalo e sua derivada f'(x)>0 nesse intervalo, então f é crescente nele. Se f'(x)<0, então f é decrescente. Isso é chamado de teste da primeira derivada.
  2. Pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe. Para classificá-los como máximo ou mínimo local, usamos o teste da primeira derivada: se f' muda de positivo para negativo passando pelo ponto, é máximo; se muda de negativo para positivo, é mínimo.
  3. Regra de derivação para potência: para r qualquer real, a derivada de x^r (quando faz sentido) é
\frac{d}{dx}x^r = r x^{r-1}.
No caso de expoentes fracionários, essa fórmula vale para x\neq0 quando o expoente resultante produz potência com expoente negativo (porque aí aparece x no denominador). No nosso caso vamos usar isso com r=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de B passo a passo usando a regra do passo anterior.
A função é
B(x)=3x^{2/3}-x.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(3x^{2/3}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2/3}\big) =3\cdot\frac{2}{3}x^{2/3-1} =3\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}.
Simplificando 3\cdot\frac{2}{3}=2, obtemos
\frac{d}{dx}\big(3x^{2/3}\big)=2x^{-1/3}.
Derivando -x temos -1. Assim a derivada de B para x\neq0 (onde a expressão x^{-1/3} faz sentido) é
B'(x)=2x^{-1/3}-1.
Observação importante: em x=0 a expressão x^{-1/3} corresponde a divisão por zero, então B' não existe em x=0. Assim x=0 é um candidato a ponto crítico (porque derivada inexistente).

Passo 4

Encontrar pontos críticos: resolvemos B'(x)=0 e também consideramos onde B' não existe.
  1. Onde B'(x) não existe: já concluímos que B' não existe em x=0. Logo x=0 é ponto crítico.
  2. Onde B'(x)=0:
2x^{-1/3}-1=0.
Isolando:
2x^{-1/3}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{-1/3}=\tfrac{1}{2}.
Invertendo ambos os lados (atenção ao sinal; aqui tudo é positivo porque vamos obter raiz cúbica positiva):
x^{1/3}=2.
Elevando ao cubo:
x=2^3=8.
Portanto x=8 é outro ponto crítico.
Conclusão intermediária: os pontos críticos são x=0 (onde B' não existe) e x=8 (onde B'=0).

Passo 5

Agora vamos analisar o sinal de B'(x)=2x^{-1/3}-1 nos intervalos determinados pelos pontos críticos, ou seja, nos intervalos (-\infty,0), (0,8) e (8,\infty). Vou explicar como raciocinar sem calculadora.
Lembrete: x^{1/3} é a raiz cúbica real de x. Para x>0 temos x^{1/3}>0; para x<0 temos x^{1/3}<0.
  • Intervalo (-\infty,0). Aqui x^{1/3}<0. Então 2x^{-1/3}=2/(x^{1/3}) é um número negativo (pois dividimos 2>0 por um número negativo). Logo 2x^{-1/3}-1 é negativo menos 1, portanto negativo. Assim B'(x)<0 para todo x\in(-\infty,0). Conclusão: B é decrescente em (-\infty,0).
(Se quiser verificar com um exemplo concreto: para x=-1 temos x^{1/3}=-1, então B'(-1)=2/(-1)-1=-2-1=-3<0.)
  • Intervalo (0,8). Aqui x^{1/3} varia de 0 a 2 (não incluindo as extremidades). Como 0<x^{1/3}<2, temos 2/x^{1/3}>1. Portanto 2x^{-1/3}-1>0. Assim B'(x)>0 em (0,8). Conclusão: B é crescente em (0,8).
(Exemplo numérico: para x=1 temos B'(1)=2/1-1=1>0.)
  • Intervalo (8,\infty). Aqui x^{1/3}>2. Então 2/x^{1/3}<1, logo 2x^{-1/3}-1<0. Assim B'(x)<0 em (8,\infty). Conclusão: B é decrescente em (8,\infty).
(Exemplo numérico: para x=27 temos x^{1/3}=3 e B'(27)=2/3-1=-1/3<0.)

Passo 6

Resumo da monotonicidade (juntando os resultados do passo 5):
  • B é decrescente em (-\infty,0).
  • B é crescente em (0,8).
  • B é decrescente em (8,\infty).
Esses são os intervalos pedidoss na letra (a).

Passo 7

Classificação dos pontos críticos pela mudança de sinal de B' (teste da primeira derivada):
  • Em x=0: à esquerda de 0 temos B'<0 e à direita de 0 temos B'>0. Mudança de negativo para positivo indica que x=0 é um mínimo local.
  • Em x=8: à esquerda de 8 temos B'>0 e à direita de 8 temos B'<0. Mudança de positivo para negativo indica que x=8 é um máximo local.
Vamos calcular os valores da função nesses pontos:
B(0)=3\cdot 0^{2/3}-0=0.
Para x=8, usamos que 8^{1/3}=2 então 8^{2/3}=2^2=4. Logo
B(8)=3\cdot 8^{2/3}-8=3\cdot 4 -8 =12-8=4.
Portanto:
  • Mínimo local em x=0 com valor B(0)=0.
  • Máximo local em x=8 com valor B(8)=4.
Observação adicional (didática): em x=0 a derivada não existe e a curva tem uma “pontinha” (cúspide suave) — mesmo assim pela mudança de sinal de B' é um mínimo local.

Resposta

(a) B é decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,8) e decrescente em (8,\infty).
(b) Mínimo local em x=0 com B(0)=0.\nMáximo local em x=8 com B(8)=4.

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