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(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
34.
(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
34.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Determinar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
- (b) Determinar os valores das extremas locais (máximos e mínimos locais).
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de
para todo
. Não há restrição de domínio — a função está definida para todos os reais. A resolução começa encontrando os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e então analisando o sinal da derivada para concluir sobre crescimento/decrescimento e localização de máximos e mínimos.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): a derivada
mede a taxa de variação instantânea de
. Se
num intervalo, a função cresce lá; se
, a função decresce. Para classificar extremos locais, usamos o teste da primeira derivada (verificar mudança de sinal de
ao atravessar o ponto crítico) ou o teste da segunda derivada (avaliar
no ponto).
Regra prática que vamos usar: a regra do poder para derivar. Para
,
. Para soma e constantes, derivamos termo a termo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
.
Usando a regra do poder e linearidade:
Portanto,
Passo 4
Encontrar os pontos críticos: são os
tais que
ou onde
não está definida. Aqui
é polinomial, logo está definida para todos os
. Então resolvemos
Assim os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
,
e
.
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e avaliamos o sinal de
(o fator
é positivo e não altera o sinal).
- Para
, por exemplo : . Logo em . - Para
, por exemplo : . Logo em . - Para
, por exemplo : . Logo em .
Passo 6
Interpretação das mudanças de sinal (teste da primeira derivada):
- Em
temos (decrescente) e em temos (crescente). Então ao passar por a derivada muda de negativa para positiva: isso indica um mínimo local em . - Em
temos (crescente) e em (decrescente). Então ao passar por a derivada muda de positiva para negativa: isso indica um máximo local em .
Podemos confirmar com o teste da segunda derivada como verificação extra: calculemos
.
Passo 7
Calcule a segunda derivada:
Avaliações:
- Em
: . Segunda derivada positiva indica concavidade para cima → mínimo local em . - Em
: . Segunda derivada negativa indica concavidade para baixo → máximo local em .
Passo 8
Agora precisamos dos valores da função nesses pontos críticos (para dar o valor do máximo e do mínimo). Calculamos
e
.
Portanto o mínimo local tem valor
em
e o máximo local tem valor
em
.
Resposta
(a) A função é decrescente em
e em
; é crescente em
.\n(b) Mínimo local em
com valor
.\nMáximo local em
com valor
.