33-44
(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
34. f(x)=2+3 x-x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=2+3x-x^{3}\, e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
  2. (b) Determinar os valores das extremas locais (máximos e mínimos locais).
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de f(x) para todo x\in\mathbb{R}. Não há restrição de domínio — a função está definida para todos os reais. A resolução começa encontrando os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e então analisando o sinal da derivada para concluir sobre crescimento/decrescimento e localização de máximos e mínimos.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): a derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f. Se f'(x)>0 num intervalo, a função cresce lá; se f'(x)<0, a função decresce. Para classificar extremos locais, usamos o teste da primeira derivada (verificar mudança de sinal de f' ao atravessar o ponto crítico) ou o teste da segunda derivada (avaliar f'' no ponto).
Regra prática que vamos usar: a regra do poder para derivar. Para x^n, \frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}. Para soma e constantes, derivamos termo a termo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de \,f(x)=2+3x-x^{3}\,.
Usando a regra do poder e linearidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}(2)+\frac{d}{dx}(3x)-\frac{d}{dx}(x^{3}) = 0 + 3 - 3x^{2}.
Portanto,
f'(x)=3-3x^{2}=3(1-x^{2})=3(1-x)(1+x).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos: são os x tais que f'(x)=0 ou onde f' não está definida. Aqui f' é polinomial, logo está definida para todos os x. Então resolvemos
3(1-x^{2})=0 \quad\Longrightarrow\quad 1-x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1.
Assim os pontos críticos são \,x=-1 e \,x=1.

Passo 5

Agora vamos analisar o sinal de f'(x)=3(1-x^{2}) nos intervalos determinados pelos pontos críticos: (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty).
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e avaliamos o sinal de 1-x^{2} (o fator 3 é positivo e não altera o sinal).
  • Para x<-1, por exemplo x=-2: 1-(-2)^{2}=1-4=-3<0. Logo f'(x)<0 em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<1, por exemplo x=0: 1-0^{2}=1>0. Logo f'(x)>0 em (-1,1).
  • Para x>1, por exemplo x=2: 1-2^{2}=1-4=-3<0. Logo f'(x)<0 em (1,\infty).

Passo 6

Interpretação das mudanças de sinal (teste da primeira derivada):
  • Em (-\infty,-1) temos f'<0 (decrescente) e em (-1,1) temos f'>0 (crescente). Então ao passar por x=-1 a derivada muda de negativa para positiva: isso indica um mínimo local em x=-1.
  • Em (-1,1) temos f'>0 (crescente) e em (1,\infty) f'<0 (decrescente). Então ao passar por x=1 a derivada muda de positiva para negativa: isso indica um máximo local em x=1.
Podemos confirmar com o teste da segunda derivada como verificação extra: calculemos f''(x).

Passo 7

Calcule a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}(3-3x^{2}) = -6x.
Avaliações:
  • Em x=-1: f''(-1)=-6(-1)=6>0. Segunda derivada positiva indica concavidade para cima → mínimo local em x=-1.
  • Em x=1: f''(1)=-6(1)=-6<0. Segunda derivada negativa indica concavidade para baixo → máximo local em x=1.

Passo 8

Agora precisamos dos valores da função nesses pontos críticos (para dar o valor do máximo e do mínimo). Calculamos f(-1) e f(1).
f(-1)=2+3(-1)-(-1)^{3}=2-3+1=0.
f(1)=2+3(1)-1^{3}=2+3-1=4.
Portanto o mínimo local tem valor 0 em x=-1 e o máximo local tem valor 4 em x=1.

Resposta

(a) A função é decrescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty); é crescente em (-1,1).\n(b) Mínimo local em x=-1 com valor f(-1)=0.\nMáximo local em x=1 com valor f(1)=4.

Exercícios relacionados