1.33 Considere que:
A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr} -40 & 16 & 9 \\\\ 13 & -5 & -3 \\\\ 5 & -2 & -1 \end{array}\right) \quad e \quad B^{-1}=\left(\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right) .
Usando escalonamento, calcular A e B.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes inversas \,A^{-1} e \,B^{-1} e pede que calculemos A e B usando escalonamento (Gauss–Jordan). Dados:
A^{-1}=\begin{pmatrix} -40 & 16 & 9 \\\\ 13 & -5 & -3 \\\\ 5 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar A=(A^{-1})^{-1} e B=(B^{-1})^{-1}. Vou fazer isso invertendo cada matriz fornecida por operações elementares (escalonamento) aplicadas à matriz aumentada [\;M\;|\;I\;], chegando em [\;I\;|\;M^{-1}\;].

Passo 2

Inversão de A^{-1} (vou chamar M=A^{-1}). Começo montando a matriz aumentada [\;M\;|\;I\;]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -40 & 16 & 9 & 1 & 0 & 0 \\\\ 13 & -5 & -3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 5 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Objetivo: transformar a parte esquerda em \,I_3 por operações sobre linhas; a parte direita resultará em M^{-1}=A.

Passo 3

Primeiros passos para zerar a primeira coluna sem introduzir frações grandes: uso combinações inteiras com a terceira linha.
Faço
R_2 \leftarrow R_2-2R_3,\qquad R_1 \leftarrow R_1+8R_3.
Aplicando,
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 \\\\ 3 & -1 & -1 & 0 & 1 & -2 \\\\ 5 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Troco R_1 com R_2 para ter um pivô não nulo na primeira linha:
R_1 \leftrightarrow R_2
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & -1 & -1 & 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 \\\\ 5 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Normalizo o pivô da primeira linha dividindo por 3:
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_1
obtemos
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 \\\\ 5 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 6

Zerro a entrada (3,1) usando R_3 \leftarrow R_3-5R_1:
R_3 \leftarrow R_3-5R_1,
resultando em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 \\\\ 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 0 & -\tfrac{5}{3} & \tfrac{13}{3} \end{array}\right].

Passo 7

Uso a segunda linha (pivô em coluna 3) para zerar as entradas na coluna 3 das outras linhas.
Faço
R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{3}R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{2}{3}R_2.
Aplicando:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 \\\\ 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{5}{3} & -1 \end{array}\right].

Passo 8

Agora trato a coluna 2: multiplico a terceira linha por -3 para obter pivô 1:
R_3 \leftarrow -3R_3,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 5 & 3 \end{array}\right].

Passo 9

Zerro a entrada (1,2) usando R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{3}R_3:
R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{3}R_3,
o que dá
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 5 & 3 \end{array}\right].

Passo 10

A parte esquerda ainda não está na ordem padrão de I_3 porque a segunda e a terceira linhas estão permutadas (linha 2 é coluna 3 pivô). Troco R_2 com R_3:
R_2 \leftrightarrow R_3,
e obtenho
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 5 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 \end{array}\right].
Agora a parte esquerda é I_3, logo a parte direita é A.

Passo 11

Concluímos que
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 5 & 3 \\\\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}.

Passo 12

Inversão de B^{-1} (chamo N=B^{-1}). Montagem da matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 13

Para ter um pivô em (1,1) troco R_1 com R_3:
R_1 \leftrightarrow R_3,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 14

Zero a coluna 1 nas outras linhas usando R_2\leftarrow R_2+R_1 (R_3 já tem zero):
R_2 \leftarrow R_2 + R_1,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 15

Zerro a entrada (3,2) somando R_2 a R_3:
R_3 \leftarrow R_3 + R_2,
resultado
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].

Passo 16

Agora elimino a entrada (1,2) com R_1 \leftarrow R_1 - R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].

Passo 17

Elimino a entrada (1,3) com R_1 \leftarrow R_1 + R_3:
R_1 \leftarrow R_1 + R_3,
obtendo finalmente
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
A parte direita é B.

Passo 18

Concluímos que
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 5 & 3 \\\\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Exercícios relacionados