1.33 Considere que:
Usando escalonamento, calcular
e
.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes inversas
e
e pede que calculemos
e
usando escalonamento (Gauss–Jordan). Dados:
O que se pede: encontrar
e
. Vou fazer isso invertendo cada matriz fornecida por operações elementares (escalonamento) aplicadas à matriz aumentada
, chegando em
.
Passo 2
Inversão de
(vou chamar
). Começo montando a matriz aumentada
:
Objetivo: transformar a parte esquerda em
por operações sobre linhas; a parte direita resultará em
.
Passo 3
Primeiros passos para zerar a primeira coluna sem introduzir frações grandes: uso combinações inteiras com a terceira linha.
Faço
Faço
Aplicando,
Passo 4
Troco
com
para ter um pivô não nulo na primeira linha:
ficando
Passo 5
Normalizo o pivô da primeira linha dividindo por
:
obtemos
Passo 6
Zerro a entrada
usando
:
resultando em
Passo 7
Uso a segunda linha (pivô em coluna 3) para zerar as entradas na coluna 3 das outras linhas.
Faço
Faço
Aplicando:
Passo 8
Agora trato a coluna 2: multiplico a terceira linha por
para obter pivô
:
ficando
Passo 9
Zerro a entrada
usando
:
o que dá
Passo 10
A parte esquerda ainda não está na ordem padrão de
porque a segunda e a terceira linhas estão permutadas (linha 2 é coluna 3 pivô). Troco
com
:
e obtenho
Agora a parte esquerda é
, logo a parte direita é
.
Passo 11
Concluímos que
Passo 12
Inversão de
(chamo
). Montagem da matriz aumentada:
Passo 13
Para ter um pivô em
troco
com
:
ficando
Passo 14
Zero a coluna 1 nas outras linhas usando
(R_3 já tem zero):
obtendo
Passo 15
Zerro a entrada
somando
a
:
resultado
Passo 16
Agora elimino a entrada
com
:
ficando
Passo 17
Elimino a entrada
com
:
obtendo finalmente
A parte direita é
.
Passo 18
Concluímos que