1.32 Determinar a matriz inversa, se existir, das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & -1 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 4 & 3 \\\\ -1 & 1 & -3 \end{array}\right) \quad e \quad C=\left(\begin{array}{rrr} -2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right)
usando escalonamento.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a matriz inversa, se existir, das três matrizes dadas usando escalonamento. As matrizes fornecidas são
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & -1 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 4 & 3 \\\\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
O que é pedido para cada matriz:
  • Determinar A^{-1} usando escalonamento (ou informar que não existe).
  • Determinar B^{-1} usando escalonamento (ou informar que não existe).
  • Determinar C^{-1} usando escalonamento (ou informar que não existe).
Informações relevantes:
  • Deve-se usar o método de escalonamento (Gauss–Jordan) aplicando operações elementares em linhas na matriz aumentada \bigl[M\mid I\bigr].
  • Se ao escalonar a parte esquerda não for possível reduzi-la à identidade (por exemplo sobra uma linha nula), então a matriz não é inversível.

Passo 2

Breve explicação do método (didática e passo a passo do que será feito).
  • Monta-se a matriz aumentada \bigl[M\mid I\bigr], onde M é a matriz cujo inverso queremos e I é a matriz identidade 3\times3.
  • Aplica-se operações elementares sobre linhas (troca de linhas, multiplicação de uma linha por escalar não nulo, soma de múltiplos de uma linha a outra) até transformar a parte esquerda em I.
  • Se conseguirmos \bigl[I\mid X\bigr], então X é M^{-1}.
  • Se surgir uma linha nula na parte esquerda enquanto a correspondente na parte direita tiver alguma entrada não nula, ou se a parte esquerda não puder ser reduzida a I, concluímos que M não é invertível.
Agora aplico esse processo a cada matriz, mostrando as operações e explicando cada passo.

Passo 3

Determinação de A^{-1} por escalonamento.
Começo montando a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Aplicar eliminação para tornar a coluna 1 com pivô em R_1.
  • Fazer \,R_2\leftarrow R_2-2R_1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -7 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
  • Fazer \,R_3\leftarrow R_3-3R_1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -7 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -8 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right)
Agora pivot em R_2 (coluna 2). Torno o pivô positivo dividindo por -1:
  • Fazer \,R_2\leftarrow -R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 7 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -8 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right)
Eliminar a coluna 2 das outras linhas:
  • \,R_1\leftarrow R_1-2R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -11 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 7 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -8 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right)
  • \,R_3\leftarrow R_3+4R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -11 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 7 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 20 & 5 & -4 & 1 \end{array}\right)
Pivot em R_3 (coluna 3). Normalizar dividindo por 20:
  • \,R_3\leftarrow \dfrac{1}{20}R_3:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -11 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 7 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{20} \end{array}\right)
Eliminar a coluna 3 das linhas 1 e 2:
  • \,R_1\leftarrow R_1+11R_3:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{11}{20}\\[4pt] 0 & 1 & 7 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{20} \end{array}\right)
  • \,R_2\leftarrow R_2-7R_3:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{11}{20}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{7}{20}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{20} \end{array}\right)
Agora a parte esquerda é a identidade; a parte direita é A^{-1}. Assim
A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{11}{20}\\[6pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{7}{20}\\[6pt] \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{20} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Determinação de B^{-1} por escalonamento — checagem de invertibilidade.
Matriz aumentada inicial \bigl[B\mid I\bigr]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 4 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Eliminar abaixo de R_1:
  • \,R_2\leftarrow R_2-2R_1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
  • \,R_3\leftarrow R_3+R_1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -2 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)
Normalizo R_2 dividindo por -2:
  • \,R_2\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 4 & -2 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)
Eliminar coluna 2 nas outras linhas:
  • \,R_1\leftarrow R_1-3R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{5}{2} & -2 & \tfrac{3}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 4 & -2 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)
  • \,R_3\leftarrow R_3-4R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{5}{2} & -2 & \tfrac{3}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right)
Observação crucial: na linha R_3 a parte esquerda ficou toda zero enquanto a parte direita é \begin{pmatrix}-3 & 2 & 1\end{pmatrix}, ou seja, não é a linha nula. Isso significa que não é possível reduzir a parte esquerda a I — o sistema mostra que a parte esquerda tem posto menor que 3. Conclusão: B NÃO é invertível (determinante zero). Não existe B^{-1}.]

Passo 5

Determinação de C^{-1} por escalonamento.
Matriz aumentada inicial \bigl[C\mid I\bigr]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Para facilitar, troco R_1 com R_3 (ter pivô igual a 1 na primeira linha):
  • Troca R_1\leftrightarrow R_3:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)
Eliminar coluna 1 nas outras linhas:
  • \,R_2\leftarrow R_2-3R_1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 7 & 2 & 0 & 1 & -3\\[4pt] -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)
  • \,R_3\leftarrow R_3+2R_1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 7 & 2 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)
Normalizo R_2 dividindo por 7:
  • \,R_2\leftarrow \tfrac{1}{7}R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & 0 & \tfrac{1}{7} & -\tfrac{3}{7}\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)
Eliminar coluna 2 nas outras linhas:
  • \,R_1\leftarrow R_1+2R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{4}{7} & 0 & \tfrac{2}{7} & \tfrac{1}{7}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & 0 & \tfrac{1}{7} & -\tfrac{3}{7}\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)
  • \,R_3\leftarrow R_3+3R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{4}{7} & 0 & \tfrac{2}{7} & \tfrac{1}{7}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & 0 & \tfrac{1}{7} & -\tfrac{3}{7}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{7} & 1 & \tfrac{3}{7} & \tfrac{5}{7} \end{array}\right)
Normalize R_3 multiplicando por -7 (para obter pivô 1):
  • \,R_3\leftarrow -7R_3:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{4}{7} & 0 & \tfrac{2}{7} & \tfrac{1}{7}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & 0 & \tfrac{1}{7} & -\tfrac{3}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -7 & -3 & -5 \end{array}\right)
Eliminar a coluna 3 das linhas 1 e 2:
  • \,R_1\leftarrow R_1-\tfrac{4}{7}R_3. Calculando a parte direita:
    • 0 - \tfrac{4}{7}(-7) = 4,
    • \tfrac{2}{7} - \tfrac{4}{7}(-3) = \tfrac{2}{7} + \tfrac{12}{7} = 2,
    • \tfrac{1}{7} - \tfrac{4}{7}(-5) = \tfrac{1}{7} + \tfrac{20}{7} = 3.
      Assim:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 4 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & 0 & \tfrac{1}{7} & -\tfrac{3}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -7 & -3 & -5 \end{array}\right)
  • \,R_2\leftarrow R_2-\tfrac{2}{7}R_3. Calculando a parte direita:
    • 0 - \tfrac{2}{7}(-7) = 2,
    • \tfrac{1}{7} - \tfrac{2}{7}(-3) = \tfrac{1}{7} + \tfrac{6}{7} = 1,
    • -\tfrac{3}{7} - \tfrac{2}{7}(-5) = -\tfrac{3}{7} + \tfrac{10}{7} = 1.
      Assim:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 4 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -7 & -3 & -5 \end{array}\right)
A parte esquerda é agora I, logo a parte direita é C^{-1}:
C^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] -7 & -3 & -5 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{11}{20}\\[6pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{7}{20}\\[6pt] \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{20} \end{pmatrix}
B^{-1}\\ \text{não existe (matriz singular)}ã
C^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] -7 & -3 & -5 \end{pmatrix}]

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