Um motor cc composto longo de 250 \mathrm{~V}, 25 \mathrm{HP}, 600 \mathrm{rpm}, possui as resistências dos circuitos de armadura, série e campo shunt são 0,12 \Omega, 0,09 \Omega e 125 \Omega, respectivamente. Calcule a potência e torque desenvolvidos pela armadura.

Passo 1

O enunciado dá um motor CC composto (composto longo) com os seguintes dados:
V=250\\ \mathrm{V},\quad P_{\text{eixo}}=25\\ \mathrm{HP},\quad n=600\\ \mathrm{rpm},
R_a=0{,}12\\ \Omega,\quad R_{se}=0{,}09\\ \Omega,\quad R_{sh}=125\\ \Omega.
O que se pede: calcular a potência desenvolvida pela armadura (potência eletromecânica desenvolvida, também chamada de potência convertida) e o torque desenvolvido pela armadura.
Informações relevantes listadas: tensão de alimentação \;V, potência entregue no eixo \;P_{\text{eixo}}, velocidade \;n, e as resistências dos circuitos armadura ( R_a), série ( R_{se}) e shunt ( R_{sh}). Neste enunciado não há perdas mecânicas/ferro explícitas informadas, então assumiremos que a potência desenvolvida pela armadura é igual à potência no eixo (ou seja, desprezamos perdas mecânicas/ferro) — eu explico e justifico isso nos passos seguintes.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Na máquina CC, a força contra-eletromotriz (f.c.e.m.) E e a corrente de armadura I_a relacionam-se com a potência desenvolvida pela armadura por
P_{\text{des}} = E\cdot I_a.
Isto é a potência elétrica convertida em potência mecânica pelo campo (energia que “sai” do circuito elétrico para o eixo). Aqui \;E é a tensão induzida (f.c.e.m.) e \;I_a é a corrente que circula na armadura (e também pela bobina série, pois série está em série com a armadura).
  • A equação de tensões no circuito de armadura + série é
V = E + I_a(R_a + R_{se}).
Isto significa que a tensão aplicada V é gasta em parte para vencer a f.c.e.m. E e em parte nas quedas ôhmicas I_a(R_a+R_{se}).
  • Como não foram dadas perdas mecânicas/ferro, adotamos a hipótese razoável (em problemas teóricos comuns) de que a potência desenvolvida pela armadura é igual à potência entregue no eixo:
P_{\text{des}} = P_{\text{eixo}}.
Se existissem perdas mecânicas, deveríamos somá‑las ao P_{\text{eixo}} para obter P_{\text{des}}.
  • Combinando as duas expressões acima obtemos uma equação para I_a:
P_{\text{eixo}} = E I_a = \bigl(V - I_a(R_a+R_{se})\bigr)I_a.
Desenvolvendo:
(R_a+R_{se})I_a^2 - V I_a + P_{\text{eixo}} = 0,
uma equação quadrática em I_a que vamos resolver.

Passo 3

Converter a potência do eixo de HP para watts:
P_{\text{eixo}} = 25\\ \mathrm{HP} = 25\cdot 746\\ \mathrm{W} = 18650\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Calcular a resistência total em série com a armadura:
R_{\text{tot}} = R_a + R_{se} = 0{,}12 + 0{,}09 = 0{,}21\\ \Omega.
Escrevemos a quadrática para I_a:
0{,}21\,I_a^2 - 250\,I_a + 18650 = 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática com a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
\Delta = V^2 - 4R_{\text{tot}}P_{\text{eixo}} = 250^2 - 4\cdot 0{,}21\cdot 18650.
Calculemos passo a passo:
250^2 = 62500,
4\cdot 0{,}21\cdot 18650 = 0{,}84\cdot 18650 = 15666,
\Delta = 62500 - 15666 = 46834.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta} \approx 216{,}434.
As raízes são
I_a = \frac{250 \pm 216{,}434}{2\cdot 0{,}21} = \frac{250 \pm 216{,}434}{0{,}42}.
Isso dá duas soluções numéricas:
I_{a1}\approx \frac{250-216{,}434}{0{,}42}\approx \frac{33{,}566}{0{,}42}\approx 79{,}9\\ \mathrm{A},
I_{a2}\approx \frac{250+216{,}434}{0{,}42}\approx \frac{466{,}434}{0{,}42}\approx 1110{,}1\\ \mathrm{A}.
A solução fisicamente plausível para um motor que entrega 25 HP com essas resistências é a corrente menor:
I_a \approx 79{,}9\\ \mathrm{A}.
( A outra raiz é muito alta e corresponderia a uma condição impraticável/fora de operação estável.)

Passo 6

Calcular a f.c.e.m. E resultante:
E = V - I_a R_{\text{tot}} = 250 - 79{,}9\cdot 0{,}21 \approx 250 - 16{,}78 \approx 233{,}22\\ \mathrm{V}.
Verificação (potência desenvolvida):
P_{\text{des}} = E\cdot I_a \approx 233{,}22\cdot 79{,}9 \approx 18650\\ \mathrm{W},
que bate com o P_{\text{eixo}} como assumido — boa consistência numérica.

Passo 7

Calcular a velocidade angular \omega a partir de n em rpm:
\omega = \frac{2\pi n}{60} = \frac{2\pi\cdot 600}{60} = 20\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 62{,}8319\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 8

Calcular o torque desenvolvido pela armadura usando
T = \frac{P_{\text{des}}}{\omega}.
Substituindo valores:
T \approx \frac{18650}{20\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}\approx \frac{18650}{62{,}8319}\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 297{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 9

Resumo numérico e observações finais (cheque rápido de perdas elétricas):
  • Corrente de excitação shunt (apenas para referência): \;I_{sh} = \dfrac{V}{R_{sh}} = \dfrac{250}{125}=2\\ \mathrm{A}.
  • Perdas ohmíacas na armadura: I_a^2R_a \approx 79{,}9^2\cdot 0{,}12\approx 767{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Perdas na série: I_a^2R_{se}\approx 79{,}9^2\cdot 0{,}09\approx 575{,}6\\ \mathrm{W}.
    Esses itens só servem para você entender como a potência fornecida pela parte elétrica se divide; eles não alteram os resultados principais porque assumimos que perdas mecânicas/ferro não foram dadas.

Resposta

\;P_{\text{des}}=18650\\ \mathrm{W}
\;T\approx 297{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}

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