1.33 Uma face de uma delgada folha metálica recebe radiaçaio de uma grande chapa a 700^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a outra face dissipa calor por convecçaio para um liquido refrigerante a 20^{\circ} \mathrm{C}. As duas faces podem ser consideradas como absorvedores e emissores perfeitos da radiação. O coeficiente de transferéncia de calor por conveçaio entre a superfície e o fluido € 120 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Determine a temperatura da placa.

Passo 1

O enunciado trata de uma chapa metálica delgada em regime estacionário, em que:
– De um lado ela recebe radiação de uma grande placa a 700^\circ\mathrm{C}.
– Do outro lado ela dissipa calor por convecção para um fluido a 20^\circ\mathrm{C} com coeficiente h=120\,\mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}.
As faces são emissores e absorvedores perfeitos, logo devemos equilibrar o fluxo de calor por radiação que entra com o fluxo de calor por convecção que sai, usando radiação de corpo negro e convecção.

Passo 2

Vamos escrever o fluxo de calor por radiação da placa quente para a chapa. Usamos a lei de Stefan–Boltzmann:
q_{\text{rad}} \;=\;\sigma\bigl(T_{\text{fonte}}^4 - T_p^4\bigr)
em que
\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\cdot K^4)},
T_{\text{fonte}} = 700^\circ\mathrm{C} = 700 + 273 = 973\,\mathrm K,
e T_p é a temperatura da chapa em kelvin.

Passo 3

O fluxo de calor por convecção da chapa para o fluido é
q_{\text{conv}} = h\,(T_p - T_{\infty})
com T_{\infty} = 20^\circ\mathrm{C} = 293\,\mathrm K e h = 120\,\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 4

Em regime estacionário, a potência radiativa recebida é igual à potência convectiva dissipada:
\sigma\bigl(973^4 - T_p^4\bigr) \;=\; 120\,(T_p - 293).
Essa equação não se resolve analiticamente em termos elementares, então faremos solução numérica.

Passo 5

Usamos tentativa e erro (ou método da bissecção) para encontrar T_p:
1. Supondo T_p=650\,\mathrm{K}:
q_{\text{rad}} \approx 5{,}67\times10^{-8}\bigl(973^4-650^4\bigr)\approx 43{,}54\times10^3\,\mathrm{W/m^2}, \quad q_{\text{conv}}=120\,(650-293)\approx 42{,}84\times10^3\,\mathrm{W/m^2},
logo q_{\text{rad}}>q_{\text{conv}}.
2. Supondo T_p=660\,\mathrm{K}:
q_{\text{rad}}\approx 42{,}91\times10^3,\quad q_{\text{conv}}\approx44{,}04\times10^3,
logo q_{\text{rad}}<q_{\text{conv}}.
Portanto a solução está entre 650,K e 660,K. Refinando essa busca, encontra-se
T_p \approx 654\,\mathrm{K}.

Resposta

A temperatura da chapa é aproximadamente T_p\approx654\,\mathrm K, ou seja cerca de 381^\circ\mathrm C.

Exercícios relacionados