1.32 A radiação solar incidente na face externa de um sombreador de alumínio pintado é de 1.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. O alumínio absorve 12 \% da energia solar incidente e dissipa-a por conveçaio, pela face interna, e por convecçaio e radiaçaio combinadas, pela face externa. A emissividade do alumínio é 0,10 , o coeficiente de transferéncia de calor € 15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) em ambas as faces; a temperatura ambiente pode ser tomada como 20^{\circ} \mathrm{C} tanto para convecçio como para a radiaçio. Determine a temperatura do sombreador.

Passo 1

O sombreador recebe radiação solar de 1\,000\\ {\rm W/m^2} e absorve 12\% dessa energia. A parte absorvida é dissipada por convecção na face interna e por convecção mais radiação na face externa. Sabemos que a emissividade é \varepsilon=0,10 e que o coeficiente de convecção em cada face é h=15\\ {\rm W/(m^2\,^\circ C)}. A temperatura do fluido envolvente em ambas as faces é T_\infty=20^\circ C. O conteúdo é transferência de calor por convecção e radiação em regime permanente, sem resistência interna.

Passo 2

Calculemos o fluxo absorvido por unidade de área:
q_{\rm abs}=0,12\times1000=120\\ {\rm W/m^2}.

Passo 3

Em regime permanente, o balanço de energia por unidade de área é
q_{\rm abs}=q_{\rm conv,i}+q_{\rm conv,o}+q_{\rm rad,o},
onde
q_{\rm conv,i}=h\bigl(T_s-T_\infty\bigr), \quad q_{\rm conv,o}=h\bigl(T_s-T_\infty\bigr),
e
q_{\rm rad,o} =\varepsilon\,\sigma\Bigl[T_s^4-(T_\infty^{\rm K})^4\Bigr],
sendo T_s a temperatura do sombreador em graus Celsius convertida em kelvin dentro do termo radiativo, T_\infty^{\rm K}=20+273,15=293,15\\ {\rm K} e \sigma=5,67\times10^{-8}\\ {\rm W/(m^2\,K^4)}.

Passo 4

Somando as convecções e escrevendo o balanço:
120 =2h\,(T_s-20) +\varepsilon\,\sigma\Bigl[(T_s+273{,}15)^4-(293{,}15)^4\Bigr].
Substituindo h=15 e \varepsilon=0{,}10:
120 =30\,(T_s-20) +0{,}10\cdot5{,}67\times10^{-8} \Bigl[(T_s+273{,}15)^4-(293{,}15)^4\Bigr].

Passo 5

Resolvendo numericamente por iteração simples:
  1. Chute inicial T_s^{(0)}=30^\circ C.
  2. Calcule o termo radiativo e atualize
T_s^{(k+1)} =20+\frac{120 -0{,}10\cdot5{,}67\times10^{-8} \bigl[(T_s^{(k)}+273{,}15)^4-(293{,}15)^4\bigr]}{30}.
  1. Após poucas iterações, converge para
T_s\approx23{,}9^\circ C.

Resposta

A temperatura do sombreador é aproximadamente 23{,}9^\circ C.

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