1.31 Uma placa delgada de 50 cm por 50 cm está sujeita a 400 W de aquecimento sobre uma das superfícies e dissipa o calor por convecyio e radiaçio combinadas pela outra superficie para o ar ambiente a 290 K . Se a superfície da placa tem uma emissividade \varepsilon=0,9 e o coeficiente de transferéncia de calor entre a superficie e ar ambiente for 15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{C}^{\mathrm{C}}\right), determine a temperatura da placa.

Passo 1

O enunciado trata de uma placa de faces quadradas de 50\\ \mathrm{cm}\times50\\ \mathrm{cm} sujeita a Q_{\rm in}=400\\ \mathrm W numa face e que perde calor na face oposta por convecção e radiação para o ar ambiente a T_\infty=290\\ \mathrm K. Vamos usar balanço de energia em regime permanente, com convecção descrita por Q_{\rm conv}=hA\,(T-T_\infty) e radiação por Q_{\rm rad}=\varepsilon\,\sigma\,A\,(T^4-T_\infty^4).

Passo 2

O balanço é
Q_{\rm in}=Q_{\rm conv}+Q_{\rm rad}
ou seja
400 = A\Bigl[h\,(T - T_\infty)\;+\;\varepsilon\,\sigma\,(T^4 - T_\infty^4)\Bigr]\,.
Aqui \varepsilon=0,9, h=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot \circC)} (podemos tratar \circC e K como diferença de temperatura), e \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2K^4)}.

Passo 3

Calculamos a área da face dissipadora:
A = 0,5\\ \mathrm m \times 0,5\\ \mathrm m = 0,25\\ \mathrm m^2.
Dividindo ambos os lados por A, definimos a taxa por área
q''=\frac{400}{0,25}=1600\\ \mathrm{W/m^2},
e obtemos a equação por metro quadrado:
h\,(T - 290)\;+\;\varepsilon\,\sigma\,(T^4 - 290^4) = 1600\,.

Passo 4

Isso é uma equação não linear em T. Vamos resolver por aproximações sucessivas (método de tentativa e interpolação).

Passo 5

Chute inicial T_1=360\\ \mathrm K:
  • Convecção: h\,(T_1-290)=15\,(360-290)=15\cdot70=1050\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Radiação: T_1^4 - 290^4 =360^4 - 290^4 \approx9{,}724\times10^9,
\varepsilon\,\sigma\,(T_1^4-290^4) =0,9\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot9{,}724\times10^9 \approx496\\ \mathrm{W/m^2}.
Total em T_1: 1050+496=1546\\ \mathrm{W/m^2} (abaixo de 1600).

Passo 6

Chute seguinte T_2=365\\ \mathrm K:
  • Convecção: 15\,(365-290)=15\cdot75=1125\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Radiação: 365^4 - 290^4\approx1{,}068\times10^{10},
0,9\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot1{,}068\times10^{10} \approx546\\ \mathrm{W/m^2}.
Total em T_2: 1125+546=1671\\ \mathrm{W/m^2} (acima de 1600).

Passo 7

Interpolando linearmente entre (T_1,q_1)=(360,1546) e (T_2,q_2)=(365,1671) para atingir q''=1600:
T \approx 360 + \frac{1600 - 1546}{1671 - 1546}\times(365-360) =360 + \frac{54}{125}\times5\approx360 + 2{,}16=362{,}2\\ \mathrm K.

Resposta

A temperatura da placa é aproximadamente T\approx362\\ \mathrm K (cerca de 89\\ ^\circ\mathrm C).

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