Centro de massa de várias partículas
\mathbf{R}=\frac{1}{M} \sum_{\alpha=1}^{N} m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha}=\frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+\cdots+m_{N} \mathbf{r}_{N}}{M}
onde M é a massa total das partículas, M=\sum m_{\alpha}.
3.21** Uma placa fina e uniforme de metal é cortada no formato de um semicírculo de raio R e repousa sobre o plano x y com seu centro na origem e com o diâmetro estendido ao longo do eixo x. Determine a posição do CM usando coordenadas polares. [Neste caso, o somatório (3.9), que define a posição do CM, torna-se uma integral bidimensional da forma \int \mathbf{r} \sigma d A, onde \sigma denota a densidade de massa da superfície (massa/área) da placa de metal e d A é o elemento de área d A=r d r d \varphi.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: determinar a posição do centro de massa (CM) de uma placa fina e uniforme cortada em formato de semicírculo de raio R, apoiada no plano xy, com o centro na origem e o diâmetro ao longo do eixo x.
  • Informação importante: a placa é uniforme (densidade de massa superficial constante), portanto a densidade superficial será denotada por \sigma (massa por unidade de área), constante.
  • Fórmula que define o CM para uma distribuição contínua de massa na superfície:
\mathbf{R}=\frac{1}{M}\iint \mathbf{r}\,\sigma\,dA,
onde M é a massa total e dA é o elemento de área. Aqui \mathbf{r}=(x,y) é o vetor posição de cada ponto da placa.
  • Observações geométricas que vêm do enunciado (vou usá-las depois): o semicírculo ocupa a região do disco de raio R com \\ y\ge 0 (assumindo a semicircunferência acima do eixo x), então, em coordenadas polares, o ângulo \varphi varia de 0 a \pi e o raio r varia de 0 a R.

Passo 2

Escolher coordenadas e escrever expressões úteis (explicando bem como funciona).
  • Por que usar coordenadas polares? A região é circular (um semicírculo), então é natural usar polares. Em coordenadas polares cada ponto é (r,\varphi) com r\ge0 e 0\le\varphi\le\pi para o semicírculo superior.
  • Relações entre cartesianas e polares (sempre escrevendo o que cada símbolo significa):
    • x = r\cos\varphi, onde x é a coordenada horizontal do ponto, r a distância ao origem e \varphi o ângulo medido a partir do eixo x.
    • y = r\sin\varphi, onde y é a coordenada vertical.
  • Elemento de área em polares: \,dA = r\,dr\,d\varphi. Explicando: ao aproximarmos a área por um anel fino de raio r e espessura dr subtendendo um ângulo d\varphi, sua área é aproximadamente comprimento do arco (r\,d\varphi) vezes a espessura dr, daí dA=r\,dr\,d\varphi.
  • Massa total M da placa uniforme de densidade \sigma:
M=\iint \sigma\,dA = \sigma \times (\text{área do semicírculo}).áí
A área do semicírculo é \tfrac{1}{2}\pi R^{2}. Portanto
M=\sigma\frac{\pi R^{2}}{2}.

Passo 3

Analisar componentes do vetor posição do CM e usar simetria para simplificar.
  • Vamos escrever \mathbf{R}=(X_{\text{CM}},Y_{\text{CM}}) onde
X_{\text{CM}}=\frac{1}{M}\iint x\,\sigma\,dA,\qquad Y_{\text{CM}}=\frac{1}{M}\iint y\,\sigma\,dA.
  • Simetria: a placa (semicírculo centrado na origem com a “borda reta” ao longo do eixo x) é simétrica em relação ao eixo y (lado esquerdo e direito são espelhos). Isso implica que X_{\text{CM}}=0. Se quiser ver pela integral, em polares:
X_{\text{CM}}=\frac{\sigma}{M}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=0}^{R}(r\cos\varphi)\,(r\,dr\,d\varphi) =\frac{\sigma}{M}\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\,d\varphi\int_{0}^{R}r^{2}\,dr.
Como \int_{0}^{\pi}\cos\varphi\,d\varphi=0, segue X_{\text{CM}}=0. (Acontece o mesmo por simetria, mas é bom ver o cancelamento na integral.)

Passo 4

Calcular Y_{\text{CM}} montando a integral passo a passo.
  • Escrever o numerador da expressão de Y_{\text{CM}}:
\iint y\,\sigma\,dA =\sigma\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=0}^{R}(r\sin\varphi)\,(r\,dr\,d\varphi).
  • Explicar cada fator: y=r\sin\varphi é a coordenada vertical; multiplicamos por dA=r\,dr\,d\varphi e pela densidade \sigma.
  • Reescrever separando integrais (produto de função de \varphi por função de r):
\iint y\,\sigma\,dA =\sigma\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{R}r^{2}\,dr\right).
  • Calcular as integrais uma a uma:
    • \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1)+1 = 2.
    • \displaystyle \int_{0}^{R}r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{R}=\frac{R^{3}}{3}.
  • Portanto o numerador é
\iint y\,\sigma\,dA = \sigma\cdot 2\cdot\frac{R^{3}}{3} = \frac{2\sigma R^{3}}{3}.

Passo 5

Dividir pelo total da massa e simplificar para obter Y_{\text{CM}}.
  • Recordando M=\sigma\frac{\pi R^{2}}{2}, temos
Y_{\text{CM}}=\frac{1}{M}\iint y\,\sigma\,dA =\frac{\dfrac{2\sigma R^{3}}{3}}{\dfrac{\sigma\pi R^{2}}{2}}.
  • Cancelar \sigma e simplificar potências de R:
Y_{\text{CM}}=\frac{2 R^{3}/3}{\pi R^{2}/2} =\frac{2 R^{3}}{3}\cdot\frac{2}{\pi R^{2}} =\frac{4R}{3\pi}.
  • Portanto o CM está sobre o eixo y (já sabíamos que X_{\text{CM}}=0) e a coordenada y é Y_{\text{CM}}=\dfrac{4R}{3\pi}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{R}=\left(0,\;\frac{4R}{3\pi}\right)

Exercícios relacionados