Centro de massa de várias partículas
onde
é a massa total das partículas,
.
3.21** Uma placa fina e uniforme de metal é cortada no formato de um semicírculo de raio
e repousa sobre o plano
com seu centro na origem e com o diâmetro estendido ao longo do eixo
. Determine a posição do CM usando coordenadas polares. [Neste caso, o somatório (3.9), que define a posição do CM, torna-se uma integral bidimensional da forma
, onde
denota a densidade de massa da superfície (massa/área) da placa de metal e
é o elemento de área
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: determinar a posição do centro de massa (CM) de uma placa fina e uniforme cortada em formato de semicírculo de raio
, apoiada no plano , com o centro na origem e o diâmetro ao longo do eixo . - Informação importante: a placa é uniforme (densidade de massa superficial constante), portanto a densidade superficial será denotada por
(massa por unidade de área), constante. - Fórmula que define o CM para uma distribuição contínua de massa na superfície:
onde
é a massa total e
é o elemento de área. Aqui
é o vetor posição de cada ponto da placa.
- Observações geométricas que vêm do enunciado (vou usá-las depois): o semicírculo ocupa a região do disco de raio
com (assumindo a semicircunferência acima do eixo ), então, em coordenadas polares, o ângulo varia de a e o raio varia de a .
Passo 2
Escolher coordenadas e escrever expressões úteis (explicando bem como funciona).
- Por que usar coordenadas polares? A região é circular (um semicírculo), então é natural usar polares. Em coordenadas polares cada ponto é
com e para o semicírculo superior. - Relações entre cartesianas e polares (sempre escrevendo o que cada símbolo significa):
-
, onde é a coordenada horizontal do ponto, a distância ao origem e o ângulo medido a partir do eixo . -
, onde é a coordenada vertical.
-
- Elemento de área em polares:
. Explicando: ao aproximarmos a área por um anel fino de raio e espessura subtendendo um ângulo , sua área é aproximadamente comprimento do arco vezes a espessura , daí . - Massa total
da placa uniforme de densidade :
A área do semicírculo é
. Portanto
Passo 3
Analisar componentes do vetor posição do CM e usar simetria para simplificar.
- Vamos escrever
onde
- Simetria: a placa (semicírculo centrado na origem com a “borda reta” ao longo do eixo
) é simétrica em relação ao eixo (lado esquerdo e direito são espelhos). Isso implica que . Se quiser ver pela integral, em polares:
Como
, segue
. (Acontece o mesmo por simetria, mas é bom ver o cancelamento na integral.)
Passo 4
Calcular
montando a integral passo a passo.
- Escrever o numerador da expressão de
:
- Explicar cada fator:
é a coordenada vertical; multiplicamos por e pela densidade . - Reescrever separando integrais (produto de função de
por função de ):
- Calcular as integrais uma a uma:
-
- Portanto o numerador é
Passo 5
Dividir pelo total da massa e simplificar para obter
.
- Recordando
, temos
- Cancelar
e simplificar potências de :
- Portanto o CM está sobre o eixo
(já sabíamos que ) e a coordenada é .