3.24* Se os vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} formam os dois lados de um triângulo, mostre que \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| é igual à área do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá: dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} que formam os dois lados de um triângulo (isto é, partem de um mesmo vértice). A tarefa é mostrar que
\frac{1}{2}\bigl|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\bigr|
é igual à área desse triângulo.

Passo 2

Descrevendo a configuração geométrica com clareza: coloque o vértice comum dos dois vetores na origem O. Então os três vértices do triângulo são O, o ponto tipificado por \mathbf{a} (que escrevo também como A) e o ponto tipificado por \mathbf{b} (ponto B). O segmento OA tem comprimento |\mathbf{a}| e o segmento OB tem comprimento |\mathbf{b}|. O ângulo formado entre \mathbf{a} e \mathbf{b} chamaremos de \theta, com 0\le\theta\le\pi.

Passo 3

Recordando a fórmula elementar da área de um triângulo em termos de base e altura: se uma base tem comprimento b e a altura correspondente é h, então a área do triângulo é
\text{Área}=\frac{1}{2}b\cdot h.Á
Aqui podemos escolher como base o lado OA (comprimento b=|\mathbf{a}|). A altura correspondente é a distância do ponto B à reta que contém OA; geometricamente essa altura é a componente de \mathbf{b} perpendicular a \mathbf{a}. A magnitude dessa componente perpendicular vale |\mathbf{b}|\sin\theta. Portanto a altura é h=|\mathbf{b}|\sin\theta.

Passo 4

Substituindo na fórmula da área do triângulo:
\text{Área}=\frac{1}{2}\,|\mathbf{a}|\cdot\bigl(|\mathbf{b}|\sin\theta\bigr) =\frac{1}{2}\,|\mathbf{a}|\;|\mathbf{b}|\sin\theta.Á
Até aqui só usei a noção de base×altura — nada de cálculo vetorial complicado.

Passo 5

Agora vamos ligar isso ao produto vetorial. Definição importante e fórmula que convém lembrar: para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} em \mathbb{R}^3, o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{a} quanto a \mathbf{b}, cujo módulo é
\bigl|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\bigr| = |\mathbf{a}|\;|\mathbf{b}|\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Essa expressão pode ser vista diretamente da fórmula do produto vetorial por componentes (determinante) ou entendida geometricamente: |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta é a área do paralelogramo construído sobre \mathbf{a} e \mathbf{b}, e o módulo do produto vetorial mede exatamente essa área.

Passo 6

Comparando as duas expressões que obtivemos:
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\,|\mathbf{a}|\;|\mathbf{b}|\sin\thetaÁâ
e
\bigl|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\bigr|=|\mathbf{a}|\;|\mathbf{b}|\sin\theta,
segue imediatamente que
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\bigl|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\bigr|.Áâ
Intuitivamente: o paralelogramo com lados \mathbf{a} e \mathbf{b} tem área |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|; o triângulo é exatamente metade desse paralelogramo.

Passo 7

Comentário final para fixar: se preferir pensar com um exemplo concreto, tome \mathbf{a}=(1,0,0) e \mathbf{b}=(0,2,0). Então |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|(0,0,2)|=2 e a área do triângulo com esses lados é \tfrac{1}{2}\cdot 2=1, o que bate com a fórmula acima. Isso ajuda a ver a ideia sem algebrices pesadas.

Resposta

\dfrac{1}{2}\bigl|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\bigr|

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