(3.33 pontos) Hélio é utilizado como gás inerte numa câmara de revestimentos especiais. Um cilindro comercial contendo uma massa ( m ) de Hélio é vendido a uma pressão \left(\mathrm{P}_{0}\right) a temperatura \left(\mathrm{T}_{0}\right). Uma válvula reguladora permite alimentar o gás Hélio a uma vazão volumétrica constante (q) à câmara de revestimentos. Por motivos técnicos de recarga do cilindro, não é conveniente que a pressão no cilindro diminua a valores inferiores a PF. Solicita-se:
(a) (2,0 pontos) A expressão que fornece a densidade do gás no cilindro em função do tempo, considerando que o comportamento do gás Hélio é ideal e a descarga do cilindro seja isotérmica;
(b) (1,33 ponto) Considerando as condições abaixo especificadas, calcule o número de dias que é possível operar a câmera ininterruptamente.
Dados: \mathrm{m}=668 \mathrm{~g}, \mathrm{P}_{0}=2400 \mathrm{psig} (manométrica), \mathrm{P}_{\mathrm{F}}=50 \mathrm{psig} (manométrica), \mathrm{M}= 4 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, \mathrm{q}=0,237 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s},
\mathrm{R}=0,082 \mathrm{~atm} . \mathrm{L} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}) e \mathrm{T}_{0}=25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Obter uma expressão que dê a densidade do gás no cilindro em função do tempo, supondo que o He é um gás ideal e que a descarga do cilindro é isotérmica.
  • (b) Com os dados fornecidos, calcular quantos dias a câmara pode operar até a pressão do cilindro cair abaixo de \mathrm{P_F}.
Informações relevantes dadas (peguei os números do enunciado):
  • Massa inicial do He no cilindro: m=668\\ \mathrm{g}.
  • Pressão inicial (manométrica): \mathrm{P}_0=2400\\ \mathrm{psig}.
  • Pressão final limite (manométrica): \mathrm{P_F}=50\\ \mathrm{psig}.
  • Massa molar do He: M=4\\ \mathrm{g/mol}.
  • Vazão volumétrica constante fornecida à câmara: q=0,237\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
  • Constante dos gases: R=0,082\\ \mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}.
  • Temperatura (isotérmica): T_0=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
Observações que vou usar sem pedir nada:
  • As pressões dadas em psig são pressões manométricas; para usar a equação dos gases ideais preciso das pressões absolutas. Vou usar a pressão atmosférica \,P_a=1\\ \mathrm{atm} para converter: pressão absoluta = manométrica + P_a (convertendo unidades apropriadas).
  • A válvula/regulador mantém a vazão volumétrica q constante na saída (para a câmara). Assumo que essa vazão q é medida no estado de descarga (isto é, é o volume por tempo entregue ao ambiente/câmara à pressão ambiente \,P_a e temperatura T_0). Assim a massa que sai por segundo é constante e igual à densidade no ponto de entrega vezes q. Essa é uma suposição física razoável para um regulador que mantém vazão constante até a pressão do cilindro cair muito.

Passo 2

Relembrando e explicando as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo e com significado das variáveis):
  • Equação dos gases ideais (para uma amostra de gás a pressão P, volume V, número de mols n e temperatura T):
PV = n R T.
Aqui P é a pressão absoluta (em atm), V é o volume (em L), n é o número de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura em K.
  • Densidade (massa por volume) do gás a uma dada pressão e temperatura pode ser obtida com a equação dos gases: o número de mols por volume é n/V = P/(R T), logo a densidade em g/L é
\rho = \frac{\text{massa}}{V} = M\frac{n}{V} = \frac{M P}{R T},
onde M é a massa molar em \mathrm{g/mol}. Isso é importante: para um gás ideal, a densidade é proporcional à pressão e inversamente proporcional à temperatura; note que essa expressão não depende do volume do cilindro explicitamente.
  • Relação massa total no cilindro e pressão: se o volume interno do cilindro for V_c (constante), a massa no cilindro em um instante t é m(t). Pela equação dos gases,
P(t)\,V_c = n(t) R T_0 = \frac{m(t)}{M} R T_0.
Logo a pressão no cilindro é
P(t)=\frac{R T_0}{V_c}\cdot\frac{m(t)}{M}.
Note que a pressão é proporcional à massa que resta no cilindro (para V_c e T_0 constantes).
  • Vazão de massa para a câmara: assumindo que q é a vazão volumétrica entregue à câmara nas condições (P_a,T_0), a massa que sai por segundo é
\dot m_{\text{out}} = \rho_{\text{amb}}\,q = \frac{M P_a}{R T_0}\,q,
onde P_a é a pressão absoluta ambiente ( 1\\ \mathrm{atm}). Note que, sob nossa hipótese, \dot m_{\text{out}} é constante (não depende de t).
  • Balanço de massa no cilindro (sinal negativo porque sai massa):
\frac{d m(t)}{dt} = -\dot m_{\text{out}} = -\frac{M P_a}{R T_0}\,q.
Isso é uma equação diferencial simples com solução linear:
m(t)=m(0)-\frac{M P_a q}{R T_0}\,t,
onde m(0)=m é a massa inicial dada.
Agora unimos as expressões para obter a densidade dentro do cilindro em função do tempo. Primeiro a densidade dentro do cilindro pode ser escrita por
\rho_{\text{cil}}(t)=\frac{m(t)}{V_c}.
Mas podemos eliminar V_c usando as condições iniciais: a partir de P_{0,\text{abs}} V_c = \dfrac{m}{M} R T_0 obtemos
V_c = \frac{m R T_0}{M P_{0,\text{abs}}}.
Substituindo em \rho_{\text{cil}}(t)=m(t)/V_c resulta
\rho_{\text{cil}}(t) = \frac{M P_{0,\text{abs}}}{R T_0}\,\frac{m(t)}{m}.
Como m(t)=m - \dfrac{M P_a q}{R T_0}t, podemos escrever a expressão final (mais direta) da densidade no cilindro:
\boxed{\displaystyle \rho_{\text{cil}}(t)=\frac{M P_{0,\text{abs}}}{R T_0}\left(1-\frac{M P_a q}{R T_0\,m}\,t\right).}
Explicando cada termo:
  • \rho_{\text{cil}}(t) é a densidade no interior do cilindro em \mathrm{g/L}.
  • M é a massa molar ( \mathrm{g/mol}).
  • P_{0,\text{abs}} é a pressão inicial absoluta do cilindro (em atm).
  • R e T_0 como dados.
  • P_a é a pressão ambiente absoluta ( 1\\ \mathrm{atm}).
  • q deve ser usado em \mathrm{L/s}.
  • m é a massa inicial em \mathrm{g}.
Observação: a densidade decai linearmente com o tempo até que a expressão entre parênteses atinja o valor correspondente à pressão limite (ou até zerar, no limite).

Passo 3

Agora calculo o tempo disponível até a pressão do cilindro atingir \mathrm{P_F}. Em vez de usar densidade, é mais direto usar a relação entre massa e pressão já explicada: para o cilindro
P(t)=P_{0,\text{abs}}\frac{m(t)}{m}.
Queremos o tempo t_f tal que P(t_f)=P_{F,\text{abs}}. Isso implica
m(t_f)=m\frac{P_{F,\text{abs}}}{P_{0,\text{abs}}}.
Usando m(t)=m - \dfrac{M P_a q}{R T_0}t e isolando t obtemos
t_f = \frac{m\left(1-\dfrac{P_{F,\text{abs}}}{P_{0,\text{abs}}}\right)}{\,\dfrac{M P_a q}{R T_0}\,} = \frac{m R T_0}{M P_a q}\left(1-\frac{P_{F,\text{abs}}}{P_{0,\text{abs}}}\right).
Agora substituo os números (faço passo a passo, com unidades consistentes):
  • Converto as pressões manométricas para absolutas (1 atm = 14,6959 psi). Primeiro converto psig para psi absoluto somando 14,6959 psi, depois converto para atm dividindo por 14,6959; uma forma direta é adicionar 1\\ \mathrm{atm} (em unidades atm) às pressões manométricas convertidas para atm. Para simplificar, uso:
    • \mathrm{P}_{0,\text{abs}} \approx 2400\\ \mathrm{psig} + 14{,}6959\\ \mathrm{psi} =2414{,}6959\\ \mathrm{psi}. Em atm:
    P_{0,\text{abs}} = \frac{2414{,}6959}{14{,}6959}\\ \mathrm{atm}\approx 164{,}36\\ \mathrm{atm}.
    • \mathrm{P}_{F,\text{abs}} \approx 50\\ \mathrm{psig} + 14{,}6959\\ \mathrm{psi} =64{,}6959\\ \mathrm{psi}. Em atm:
    P_{F,\text{abs}} = \frac{64{,}6959}{14{,}6959}\\ \mathrm{atm}\approx 4{,}404\\ \mathrm{atm}.
    (ou, de forma mais direta: P_{0,\text{abs}}\approx164{,}36\\ \mathrm{atm} e P_{F,\text{abs}}\approx4{,}404\\ \mathrm{atm}.)
  • Converto q para \mathrm{L/s}: q=0{,}237\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}=0{,}000237\\ \mathrm{L/s}.
Agora calculo:
1-\frac{P_{F,\text{abs}}}{P_{0,\text{abs}}}=1-\frac{4{,}404}{164{,}36}\approx 1-0{,}02679=0{,}97321.
Parâmetro prefatorial:
\frac{m R T_0}{M P_a q} =\frac{668\\ \mathrm{g}\;\times\;0{,}082\\ \mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}\;\times\;298{,}15\\ \mathrm{K}} {4\\ \mathrm{g/mol}\;\times\;1\\ \mathrm{atm}\;\times\;0{,}000237\\ \mathrm{L/s}}.
Calculo passo a passo:
  • R T_0 = 0{,}082\times 298{,}15 \approx 24{,}446\\ \mathrm{atm\cdot L/mol}.
  • Numerador: 668\times 24{,}446 \approx 16\,883{,}5.
  • Denominador: 4\times 0{,}000237 = 0{,}000948.
  • Dividindo: \dfrac{16\,883{,}5}{0{,}000948}\approx 1{,}782\times 10^7\\ \mathrm{s}.
Multiplico pela fração 0{,}97321:
t_f \approx 1{,}782\times 10^7\\ \mathrm{s}\times 0{,}97321 \approx 1{,}675\times 10^7\\ \mathrm{s}.
Converto para dias: 1\\ \mathrm{dia}=86400\\ \mathrm{s}, então
t_f \approx \frac{1{,}675\times 10^7}{86400}\\ \mathrm{dias}\approx 194\\ \mathrm{dias}.

Passo 4

Interpretação curta e incentivo: com as hipóteses feitas (descarga isotérmica, vazão volumétrica constante medida nas condições ambiente) a massa sai a uma taxa constante e a pressão no cilindro cai praticamente de forma linear com a massa restante; o resultado numérico é bem grande — cerca de 194 dias contínuos — o que indica que, com a vazão tão pequena informada, o cilindro dura muitos meses antes de chegar à pressão de recarga. Bom trabalho — isso significa que, se a hipótese do regulador manter q constante estiver correta, o reabastecimento não será uma preocupação frequente!

Resposta

(a) \displaystyle \rho_{\text{cil}}(t)=\frac{M P_{0,\text{abs}}}{R T_0}\left(1-\frac{M P_a q}{R T_0\,m}\,t\right)
(b) \displaystyle t\approx 194\\ \text{dias}

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