(3.33 pontos) Hélio é utilizado como gás inerte numa câmara de revestimentos especiais. Um cilindro comercial contendo uma massa ( m ) de Hélio é vendido a uma pressão
a temperatura
. Uma válvula reguladora permite alimentar o gás Hélio a uma vazão volumétrica constante (q) à câmara de revestimentos. Por motivos técnicos de recarga do cilindro, não é conveniente que a pressão no cilindro diminua a valores inferiores a PF. Solicita-se:
(a) (2,0 pontos) A expressão que fornece a densidade do gás no cilindro em função do tempo, considerando que o comportamento do gás Hélio é ideal e a descarga do cilindro seja isotérmica;
(b) (1,33 ponto) Considerando as condições abaixo especificadas, calcule o número de dias que é possível operar a câmera ininterruptamente.
Dados:
(manométrica),
(manométrica),
,
e
.
(a) (2,0 pontos) A expressão que fornece a densidade do gás no cilindro em função do tempo, considerando que o comportamento do gás Hélio é ideal e a descarga do cilindro seja isotérmica;
(b) (1,33 ponto) Considerando as condições abaixo especificadas, calcule o número de dias que é possível operar a câmera ininterruptamente.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Obter uma expressão que dê a densidade do gás no cilindro em função do tempo, supondo que o He é um gás ideal e que a descarga do cilindro é isotérmica.
- (b) Com os dados fornecidos, calcular quantos dias a câmara pode operar até a pressão do cilindro cair abaixo de
.
Informações relevantes dadas (peguei os números do enunciado):
- Massa inicial do He no cilindro:
. - Pressão inicial (manométrica):
. - Pressão final limite (manométrica):
. - Massa molar do He:
. - Vazão volumétrica constante fornecida à câmara:
. - Constante dos gases:
. - Temperatura (isotérmica):
.
Observações que vou usar sem pedir nada:
- As pressões dadas em psig são pressões manométricas; para usar a equação dos gases ideais preciso das pressões absolutas. Vou usar a pressão atmosférica
para converter: pressão absoluta = manométrica + (convertendo unidades apropriadas). - A válvula/regulador mantém a vazão volumétrica
constante na saída (para a câmara). Assumo que essa vazão é medida no estado de descarga (isto é, é o volume por tempo entregue ao ambiente/câmara à pressão ambiente e temperatura ). Assim a massa que sai por segundo é constante e igual à densidade no ponto de entrega vezes . Essa é uma suposição física razoável para um regulador que mantém vazão constante até a pressão do cilindro cair muito.
Passo 2
Relembrando e explicando as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo e com significado das variáveis):
- Equação dos gases ideais (para uma amostra de gás a pressão
, volume , número de mols e temperatura ):
Aqui
é a pressão absoluta (em atm),
é o volume (em L),
é o número de mols,
é a constante dos gases e
é a temperatura em K.
- Densidade (massa por volume) do gás a uma dada pressão e temperatura pode ser obtida com a equação dos gases: o número de mols por volume é
, logo a densidade em g/L é
onde
é a massa molar em
. Isso é importante: para um gás ideal, a densidade é proporcional à pressão e inversamente proporcional à temperatura; note que essa expressão não depende do volume do cilindro explicitamente.
- Relação massa total no cilindro e pressão: se o volume interno do cilindro for
(constante), a massa no cilindro em um instante é . Pela equação dos gases,
Logo a pressão no cilindro é
Note que a pressão é proporcional à massa que resta no cilindro (para
e
constantes).
- Vazão de massa para a câmara: assumindo que
é a vazão volumétrica entregue à câmara nas condições , a massa que sai por segundo é
onde
é a pressão absoluta ambiente (
). Note que, sob nossa hipótese,
é constante (não depende de
).
- Balanço de massa no cilindro (sinal negativo porque sai massa):
Isso é uma equação diferencial simples com solução linear:
onde
é a massa inicial dada.
Agora unimos as expressões para obter a densidade dentro do cilindro em função do tempo. Primeiro a densidade dentro do cilindro pode ser escrita por
Mas podemos eliminar
usando as condições iniciais: a partir de
obtemos
Substituindo em
resulta
Como
, podemos escrever a expressão final (mais direta) da densidade no cilindro:
Explicando cada termo:
-
é a densidade no interior do cilindro em . -
é a massa molar ( ). -
é a pressão inicial absoluta do cilindro (em atm). -
e como dados. -
é a pressão ambiente absoluta ( ). -
deve ser usado em . -
é a massa inicial em .
Observação: a densidade decai linearmente com o tempo até que a expressão entre parênteses atinja o valor correspondente à pressão limite (ou até zerar, no limite).
Passo 3
Agora calculo o tempo disponível até a pressão do cilindro atingir
. Em vez de usar densidade, é mais direto usar a relação entre massa e pressão já explicada: para o cilindro
Queremos o tempo
tal que
. Isso implica
Usando
e isolando
obtemos
Agora substituo os números (faço passo a passo, com unidades consistentes):
-
Converto as pressões manométricas para absolutas (1 atm = 14,6959 psi). Primeiro converto psig para psi absoluto somando 14,6959 psi, depois converto para atm dividindo por 14,6959; uma forma direta é adicionar
(em unidades atm) às pressões manométricas convertidas para atm. Para simplificar, uso: -
. Em atm:
-
. Em atm:
(ou, de forma mais direta:e .) -
-
Converto
para : .
Agora calculo:
Parâmetro prefatorial:
Calculo passo a passo:
-
. - Numerador:
. - Denominador:
. - Dividindo:
Multiplico pela fração
:
Converto para dias:
, então
Passo 4
Interpretação curta e incentivo: com as hipóteses feitas (descarga isotérmica, vazão volumétrica constante medida nas condições ambiente) a massa sai a uma taxa constante e a pressão no cilindro cai praticamente de forma linear com a massa restante; o resultado numérico é bem grande — cerca de 194 dias contínuos — o que indica que, com a vazão tão pequena informada, o cilindro dura muitos meses antes de chegar à pressão de recarga. Bom trabalho — isso significa que, se a hipótese do regulador manter q constante estiver correta, o reabastecimento não será uma preocupação frequente!
Resposta
(a)
(b)