Gás natural, que pode ser considerado metano puro, é transportado empregando-se um compressor. Os dutos de entrada e saída do compressor possuem diâmetro interno de 2 ft . O gás entra no compressor a 86 psia, com velocidade de 49 \mathrm{ft} / \mathrm{s} a temperatura ambiente de 25^{\circ} \mathrm{C}. Na saída do compressor, a pressão do gás deve ser 100 psia. Assinale a alternativa que representa a potência consumida no compressor, supondo que: (a) o gás possui comportamento ideal, (b) os perfis de velocidades na entrada e saída do compressor são uniformes, (c) a elevação entre a saída e a entrada do compressor é negligenciável, (d) o escoamento é reversível, (e) o fluido é compressível e (f) a compressão é adiabática. Faça uma reflexão se o efeito da variação da taxa de energia cinética é importante neste processo.
Dado: \gamma=C p / C v=1,3
◯ a. 39,66 \mathrm{~kW}
◯ b. 396,59 \mathrm{~kW}
◯ c. 198,29 \mathrm{~kW}
◯ d. 436,24 \mathrm{~kW}
◯ e. 594,88 \mathrm{~kW}

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos esses valores do enunciado):
  • Diâmetro interno do duto de entrada e saída: D=2\\ \mathrm{ft}.
  • Pressão de entrada: P_1=86\\ \mathrm{psia}.
  • Velocidade na entrada: v_1=49\\ \mathrm{ft/s}.
  • Temperatura de entrada: T_1=25^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão de saída desejada: P_2=100\\ \mathrm{psia}.
  • Relação de calores: \gamma=C_p/C_v=1,3.
Condições e simplificações exigidas pelo enunciado:
  • Gás ideal (metano puro).
  • Perfis de velocidade uniformes na entrada e saída.
  • Elevação desprezível.
  • Escoamento reversível e adiabático (compressão isentrópica).
  • Fluido compressível.
  • Pedem a potência consumida no compressor e uma reflexão sobre a importância da variação da energia cinética.
O que vou calcular:
  1. Converter unidades para SI.
  2. Determinar a área do duto e a vazão mássica \dot{m}.
  3. Calcular a temperatura de saída isentrópica T_{2s}.
  4. Calcular o trabalho específico isentrópico w = C_p(T_{2s}-T_1) e a potência \dot{W}=\dot{m}\,w.
  5. Avaliar o efeito da variação da energia cinética \dot{m}\,(v_2^2-v_1^2)/2 e comentar se é relevante.

Passo 2

Conversões e área do duto.
Primeiro converto todas as unidades para SI:
  • Diâmetro: D=2\\ \mathrm{ft}=2\times0,3048\\ \mathrm{m}=0,6096\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção circular:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0,6096)^2}{4}\approx0,2919\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade de entrada:
v_1=49\\ \mathrm{ft/s}=49\times0,3048\\ \mathrm{m/s}\approx14,935\\ \mathrm{m/s}.
  • Temperatura:
T_1=25^\circ\mathrm{C}=25+273,15=298,15\\ \mathrm{K}.
  • Pressões (conversão psi \to Pa, com 1\\ \mathrm{psi}=6894,757\\ \mathrm{Pa}):
P_1=86\\ \mathrm{psia}=86\times6894,757\\ \mathrm{Pa}\approx592\,949\\ \mathrm{Pa},
P_2=100\\ \mathrm{psia}=100\times6894,757\\ \mathrm{Pa}\approx689\,476\\ \mathrm{Pa}.
Agora a constante dos gases específicos do metano. Massa molar aproximada do metano: M\approx16,04\\ \mathrm{g/mol}=0,01604\\ \mathrm{kg/mol}. A constante universal R_u=8,314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Então a constante específica do metano é
R=\frac{R_u}{M}\approx\frac{8,314462618}{0,01604}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx518{,}36\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Densidade na entrada pela equação dos gases ideais:
\rho_1=\frac{P_1}{R\,T_1}=\frac{592\,949}{518{,}36\times298{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}\approx3{,}84\\ \mathrm{kg/m^3}.
Vazão volumétrica e vazão mássica:
\dot{V}=A\,v_1\approx0,2919\times14{,}935\approx4{,}360\\ \mathrm{m^3/s},
\dot{m}=\rho_1\,\dot{V}\approx3{,}84\times4{,}360\approx16{,}74\\ \mathrm{kg/s}.
(Resumo numérico até aqui: A\approx0,2919\\ \mathrm{m^2}, \rho_1\approx3{,}84\\ \mathrm{kg/m^3}, \dot{m}\approx16{,}74\\ \mathrm{kg/s}.)

Passo 3

Temperatura de saída no processo isentrópico (relembre a fórmula e porquê).
Para um gás ideal em compressão isentrópica e reversível vale a relação
\frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Explicando: essa fórmula vem da combinação das relações termodinâmicas para um gás ideal número de degrees of freedom fixos — a entropia permanece constante em processo isentrópico, levando a essa lei de potência entre temperaturas e pressões.
Calculo numérico:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{100}{86}\approx1{,}16279,\qquad \frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{0{,}3}{1{,}3}\approx0{,}230769.
T_{2s}=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{0{,}230769}\approx298{,}15\times1{,}03545\approx308{,}65\\ \mathrm{K}.
Portanto \Delta T=T_{2s}-T_1\approx10{,}50\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Cálculo do trabalho específico e da potência requerida.
Para um gás ideal e processo adiabático reversível a variação de entalpia é
h_{2s}-h_1=C_p\,(T_{2s}-T_1).
Explicando C_p: é o calor específico a pressão constante por unidade de massa. Para gás ideal com razão \gamma,
C_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1}.
Substituindo os valores:
C_p=\frac{1{,}3\times518{,}36}{0{,}3}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx2246{,}3\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Logo o trabalho específico (por unidade de massa) necessário é
w=C_p\,(T_{2s}-T_1)\approx2246{,}3\times10{,}50\\ \mathrm{J/kg}\approx23\,586\\ \mathrm{J/kg}.
A potência bruta (negligenciando ainda variação cinética) é
\dot{W}=\dot{m}\,w\approx16{,}74\times23\,586\\ \mathrm{W}\approx394{,}99\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Efeito da variação da energia cinética (cálculo e interpretação).
Como diâmetros de entrada e saída são iguais, a velocidade na saída não é necessariamente igual à entrada porque a densidade mudou. Calculo da densidade e velocidade na saída isentrópica:
Densidade de saída (usando P_2 e T_{2s}):
\rho_2=\frac{P_2}{R\,T_{2s}}=\frac{689\,476}{518{,}36\times308{,}65}\\ \mathrm{kg/m^3}\approx4{,}30\\ \mathrm{kg/m^3}.
Velocidade de saída a partir de \dot{m}=\rho_2 A v_2:
v_2=\frac{\dot{m}}{\rho_2 A}\approx\frac{16{,}74}{4{,}30\times0{,}2919}\\ \mathrm{m/s}\approx13{,}32\\ \mathrm{m/s}.
Variação de energia cinética por unidade de massa:
\Delta e_k=\frac{v_2^2-v_1^2}{2}=\frac{13{,}32^2-14{,}935^2}{2}\\ \mathrm{J/kg}\approx-22{,}9\\ \mathrm{J/kg}.
Potência associada à variação de energia cinética:
\dot{W}_{ke}=\dot{m}\,\Delta e_k\approx16{,}74\times(-22{,}9)\\ \mathrm{W}\approx-383\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a variação de energia cinética reduz ligeiramente a potência requerida (pois a velocidade diminui na saída), mas o efeito é muito pequeno comparado à potência total do compressor:
\frac{383\\ \mathrm{W}}{395\\\ 000\\ \mathrm{W}}\approx0{,}1\%.
Portanto a variação da energia cinética é desprezível para fins práticos neste problema.
Incluindo a correção da energia cinética, a potência líquida requerida é aproximadamente
\dot{W}_{\text{total}}=\dot{m}\,C_p\,(T_{2s}-T_1)+\dot{m}\frac{v_2^2-v_1^2}{2}\approx394{,}99\\ \mathrm{kW}-0{,}38\\ \mathrm{kW}\approx394{,}61\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Conclusão e escolha da alternativa.
O valor calculado para a potência do compressor é aproximadamente 394{,}6\\ \mathrm{kW}. Entre as alternativas fornecidas a que fica melhor próxima é a alternativa (b) 396{,}59\\ \mathrm{kW} — diferenças pequenas vêm de arredondamentos e de valores ligeiramente diferentes usados para R e massa molar do metano. A variação da energia cinética é desprezível (ordem de 0{,}1\%).

Resposta

b. 396,59\\ \mathrm{kW}

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