33 Sejam n \geq 1 uma número natural e \zeta uma raiz primitiva 2 n-ésima da unidade. Mostre que:
(a) \zeta^{2} é uma raiz primitiva n-ésima da unidade.
(b) \zeta^{n}=-1.

Passo 1

O enunciado dá que n\ge 1 é um número natural e que \zeta é uma raiz primitiva 2n-ésima da unidade. As perguntas são:
(a) Mostrar que \zeta^{2} é uma raiz primitiva n-ésima da unidade.
(b) Mostrar que \zeta^{n}=-1.
Informações relevantes fornecidas: \zeta é raiz primitiva de ordem 2n, ou seja \zeta^{2n}=1 e nenhum inteiro positivo menor que 2n satisfaz \zeta^{k}=1.

Passo 2

Vamos lembrar com calma o que significa “raiz primitiva m-ésima da unidade” e a noção de ordem de um elemento:
  • Dizer que \xi é uma raiz m-ésima da unidade significa que \xi^{m}=1.
  • Dizer que \xi é uma raiz primitiva m-ésima da unidade significa que \xi^{m}=1 e que não existe inteiro positivo r<m tal que \xi^{r}=1. Em outras palavras, a ordem de \xi (o menor inteiro positivo t com \xi^{t}=1) é exatamente m.
    Vou usar essa definição passo a passo para (a) e (b).

Passo 3

Primeiro verifico que \zeta^{2} é uma n-ésima raiz da unidade, isto é, que (\zeta^{2})^{n}=1.
Calculo:
(\zeta^{2})^{n}=\zeta^{2n}.
Como no enunciado temos que \zeta^{2n}=1, segue imediatamente que
(\zeta^{2})^{n}=1.
Portanto \zeta^{2} é uma n-ésima raiz da unidade (possivelmente primitiva, ainda não sabemos).

Passo 4

Agora preciso mostrar que \zeta^{2} é realmente primitiva, ou seja, que não existe d com 1\le d<n tal que (\zeta^{2})^{d}=1.
Suponha, por contradição, que exista um inteiro d com 1\le d<n e (\zeta^{2})^{d}=1. Então
\zeta^{2d}=1.
Mas sabemos que a ordem de \zeta é 2n (porque \zeta é raiz primitiva 2n-ésima), isto é, o menor inteiro positivo t com \zeta^{t}=1 é t=2n. Portanto, se \zeta^{2d}=1 deve ocorrer que 2n divide 2d. Da divisibilidade 2n\mid 2d segue que n\mid d. Como d é um inteiro positivo menor que n, isso é impossível. Logo não existe tal d.
Portanto não há nenhum expoente positivo menor que n que faça (\zeta^{2})^{d}=1. Concluímos que a ordem de \zeta^{2} é exatamente n.

Passo 5

Da conclusão do passo anterior segue que \zeta^{2} satisfaz (\zeta^{2})^{n}=1 e não tem expoente menor que n que dê 1. Por definição isso significa que \zeta^{2} é uma raiz primitiva n-ésima da unidade. Assim (a) está provado.

Passo 6

Agora provamos (b). Como \zeta^{2n}=1, temos
(\zeta^{n})^{2}=\zeta^{2n}=1.
Logo \zeta^{n} é uma raiz quadrada de 1, ou seja, \zeta^{n} é igual a 1 ou a -1.
Se por acaso \zeta^{n}=1, então \zeta teria ordem dividindo n (porque \zeta^{n}=1 implica que a ordem de \zeta é um divisor de n), o que contradiz o fato de que a ordem de \zeta é 2n. Portanto não pode ser \zeta^{n}=1.
Assim o único caso restante é \zeta^{n}=-1.

Passo 7

Resumo e intuição curta: \zeta^{2} tem ordem n porque elevar ao quadrado corta pela metade a ordem 2n (formalmente visto pelo argumento de divisibilidade). E \zeta^{n} é uma raiz quadrada de 1 que não pode ser 1, restando -1. Força aí — é um raciocínio curtinho mas importante para provas com raízes da unidade.

Resposta

(a) \zeta^{2} é uma raiz primitiva n-ésima da unidade.
(b) \zeta^{n}=-1.

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