33 Sejam
uma número natural e
uma raiz primitiva
-ésima da unidade. Mostre que:
(a)
é uma raiz primitiva
-ésima da unidade.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá que
é um número natural e que
é uma raiz primitiva
-ésima da unidade. As perguntas são:
(a) Mostrar que é uma raiz primitiva
-ésima da unidade.
(b) Mostrar que .
Informações relevantes fornecidas: é raiz primitiva de ordem
, ou seja
e nenhum inteiro positivo menor que
satisfaz
.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos lembrar com calma o que significa “raiz primitiva
-ésima da unidade” e a noção de ordem de um elemento:
- Dizer que
é uma raiz -ésima da unidade significa que . - Dizer que
é uma raiz primitiva -ésima da unidade significa que e que não existe inteiro positivo tal que . Em outras palavras, a ordem de (o menor inteiro positivo com ) é exatamente .
Vou usar essa definição passo a passo para (a) e (b).
Passo 3
Primeiro verifico que
é uma
-ésima raiz da unidade, isto é, que
.
Calculo:
Calculo:
Como no enunciado temos que
, segue imediatamente que
Portanto
é uma
-ésima raiz da unidade (possivelmente primitiva, ainda não sabemos).
Passo 4
Agora preciso mostrar que
é realmente primitiva, ou seja, que não existe
com
tal que
.
Suponha, por contradição, que exista um inteiro com
e
. Então
Suponha, por contradição, que exista um inteiro
Mas sabemos que a ordem de
é
(porque
é raiz primitiva
-ésima), isto é, o menor inteiro positivo
com
é
. Portanto, se
deve ocorrer que
divide
. Da divisibilidade
segue que
. Como
é um inteiro positivo menor que
, isso é impossível. Logo não existe tal
.
Portanto não há nenhum expoente positivo menor que que faça
. Concluímos que a ordem de
é exatamente
.
Portanto não há nenhum expoente positivo menor que
Passo 5
Da conclusão do passo anterior segue que
satisfaz
e não tem expoente menor que
que dê
. Por definição isso significa que
é uma raiz primitiva
-ésima da unidade. Assim (a) está provado.
Passo 6
Agora provamos (b). Como
, temos
Logo
é uma raiz quadrada de
, ou seja,
é igual a
ou a
.
Se por acaso , então
teria ordem dividindo
(porque
implica que a ordem de
é um divisor de
), o que contradiz o fato de que a ordem de
é
. Portanto não pode ser
.
Assim o único caso restante é .
Se por acaso
Assim o único caso restante é
Passo 7
Resumo e intuição curta:
tem ordem
porque elevar ao quadrado corta pela metade a ordem
(formalmente visto pelo argumento de divisibilidade). E
é uma raiz quadrada de
que não pode ser
, restando
. Força aí — é um raciocínio curtinho mas importante para provas com raízes da unidade.
Resposta
(a)
é uma raiz primitiva
-ésima da unidade.
(b) .
(b)