32 Seja p um número natural primo. Mostre que toda raiz p-ésima da unidade diferente de 1 é uma raiz primitiva p-ésima da unidade.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a seguinte afirmação: “Seja p um número natural primo. Então toda raiz p-ésima da unidade diferente de 1 é uma raiz primitiva p-ésima da unidade.”\n
Informações dadas:
  • p é um número natural primo;
  • estamos falando de números complexos \zeta tais que \zeta^{p}=1 (essas são as p-ésimas raízes da unidade);
  • consideramos somente as raízes \zeta com \zeta\neq1.
]

Passo 2

Definições importantes (vou explicar com calma):
\text{(a) Uma }p\text{-ésima raiz da unidade}é
é qualquer número complexo \zeta tal que \zeta^{p}=1. Ou seja, elevar \zeta à potência p dá 1.\n
\text{(b) Uma raiz primitiva }p\text{-ésima da unidade}é
é uma raiz \zeta cuja ordem multiplicativa é exatamente p. A ordem de \zeta é o menor inteiro positivo n tal que \zeta^{n}=1. Vou chamar essa ordem de \operatorname{ord}(\zeta).

Passo 3

Explico a relação geral entre a equação \zeta^{p}=1 e a ordem \operatorname{ord}(\zeta). Seja \zeta com \zeta^{p}=1 e defina n=\operatorname{ord}(\zeta), isto é, n é o menor inteiro positivo com \zeta^{n}=1. Quero mostrar que n divide p. Isso é um passo técnico simples mas é essencial.

Passo 4

Prova de que \operatorname{ord}(\zeta) divide p. Use a divisão euclidiana de p por n:
p = qn + r,\qquad 0\le r < n,
onde q e r são inteiros. Agora eleve \zeta à potência p:
\zeta^{p} = \zeta^{qn+r} = (\zeta^{n})^{q}\zeta^{r} = 1^{q}\zeta^{r}=\zeta^{r}.
Mas sabemos \zeta^{p}=1, logo \zeta^{r}=1. Pela definição de n como menor expoente positivo que dá 1, e como 0\le r < n, a única possibilidade é r=0. Portanto n divide p.

Passo 5

Agora use que p é primo. Os divisores positivos de um primo p são apenas 1 e p. Como já vimos que n=\operatorname{ord}(\zeta) divide p, temos duas possibilidades:
n=1 \quad\text{ou}\quad n=p.
Se n=1 então \zeta^{1}=1, isto é, \zeta=1. Mas no enunciado estamos considerando somente as raízes com \zeta\neq1. Logo para \zeta\neq1 não é possível n=1.

Passo 6

Concluímos, portanto, que para qualquer \zeta com \zeta^{p}=1 e \zeta\neq1 temos necessariamente
\operatorname{ord}(\zeta)=p.
Mas essa igualdade é exatamente a definição de “raiz primitiva p-ésima da unidade”. Logo toda raiz p-ésima da unidade diferente de 1 é primitiva.

Passo 7

Um exemplo rápido para consolidar a intuição: as p-ésimas raízes complexas são
\zeta_{k}=e^{2\pi i k/p},\qquad k=0,1,\dots,p-1.
Para k=1,2,\dots,p-1 (ou seja \zeta_k\neq1) a ordem é p, porque a menor n>0 com (\zeta_k)^n=1 exige p\mid kn, e como p é primo e 1\le k\le p-1 temos \gcd(k,p)=1, daí p\mid n e o menor n possível é n=p.

Resposta

Toda raiz p-ésima da unidade \zeta com \zeta\neq1 tem ordem \,p\,$, logo é uma raiz primitiva \(p-ésima da unidade.)

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