32 Seja
um número natural primo. Mostre que toda raiz
-ésima da unidade diferente de 1 é uma raiz primitiva
-ésima da unidade.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a seguinte afirmação: “Seja
um número natural primo. Então toda raiz
-ésima da unidade diferente de 1 é uma raiz primitiva
-ésima da unidade.”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- •p é um número natural primo;
- •estamos falando de números complexos
tais que (essas são as -ésimas raízes da unidade); - •consideramos somente as raízes
com .
Passo 2
Definições importantes (vou explicar com calma):
é qualquer número complexo
tal que
. Ou seja, elevar
à potência
dá 1.\n
é uma raiz
cuja ordem multiplicativa é exatamente
. A ordem de
é o menor inteiro positivo
tal que
. Vou chamar essa ordem de
.
Passo 3
Explico a relação geral entre a equação
e a ordem
. Seja
com
e defina
, isto é,
é o menor inteiro positivo com
. Quero mostrar que
divide
. Isso é um passo técnico simples mas é essencial.
Passo 4
Prova de que
divide
. Use a divisão euclidiana de
por
:
onde
e
são inteiros. Agora eleve
à potência
:
Mas sabemos
, logo
. Pela definição de
como menor expoente positivo que dá 1, e como
, a única possibilidade é
. Portanto
divide
.
Passo 5
Agora use que
é primo. Os divisores positivos de um primo
são apenas
e
. Como já vimos que
divide
, temos duas possibilidades:
Se
então
, isto é,
. Mas no enunciado estamos considerando somente as raízes com
. Logo para
não é possível
.
Passo 6
Concluímos, portanto, que para qualquer
com
e
temos necessariamente
Mas essa igualdade é exatamente a definição de “raiz primitiva
-ésima da unidade”. Logo toda raiz
-ésima da unidade diferente de
é primitiva.
Passo 7
Um exemplo rápido para consolidar a intuição: as
-ésimas raízes complexas são
Para
(ou seja
) a ordem é
, porque a menor
com
exige
, e como
é primo e
temos
, daí
e o menor
possível é
.
Resposta
Toda raiz
-ésima da unidade
com
tem ordem
-ésima da unidade.)