31 Seja \zeta \neq 1 uma raiz n-ésima da unidade, onde n \geq 2. Determine o valor de 1+2 \zeta+3 \zeta^{2}+ \cdots+n \zeta^{n-1}.

Passo 1

O enunciado dá que \zeta é uma raiz n-ésima da unidade com \zeta \neq 1 e n\ge 2. Pede-se calcular a soma
S = 1 + 2\zeta + 3\zeta^2 + \cdots + n\zeta^{\,n-1}.
Informações relevantes que temos: \zeta^n = 1 e, por ser \zeta\neq 1, sabemos que
1+\zeta+\zeta^2+\cdots+\zeta^{\,n-1}=0.
A resolução começará transformando S de forma a usar essas propriedades.

Passo 2

Defina explicitamente
S=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)\zeta^{k}.
A ideia boa aqui é multiplicar S por (1-\zeta). Por que isso ajuda? Porque o termo multiplicado por \zeta desloca os expoentes e, ao subtrair, muitos termos vão se cancelar (telecopar), sobrando algo simples que podemos avaliar com \zeta^n=1.

Passo 3

Calculemos (1-\zeta)S. Primeiro escrevo as duas partes da multiplicação:
(1-\zeta)S = S - \zeta S.
Agora escrevo cada uma como soma:
S=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)\zeta^{k}, \qquad \zeta S=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)\zeta^{k+1}.
Subtraindo termo a termo,
(1-\zeta)S = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)\zeta^{k} - \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)\zeta^{k+1}.

Passo 4

Reindexe a segunda soma para comparar termos com a primeira. Na segunda soma ponha j=k+1. Então quando k vai de 0 a n-1, j vai de 1 a n, e obtemos
\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)\zeta^{k+1} = \sum_{j=1}^{n} j \zeta^{j}.
Portanto
(1-\zeta)S = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)\zeta^{k} - \sum_{j=1}^{n} j \zeta^{j}.
Agora alinhe os termos por potência de \zeta. O coeficiente de \zeta^{0} (termo constante) vem só da primeira soma e é 1. Para 1\le m\le n-1 o coeficiente de \zeta^{m} é (m+1) - m = 1. E aparece também o termo da segunda soma com \zeta^{n}, que é -n\zeta^{n}. Assim
(1-\zeta)S = 1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{\,n-1} - n\zeta^{n}.

Passo 5

Use a propriedade das raízes n-ésimas da unidade: \zeta^n=1 e, como \zeta\neq 1,
1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{\,n-1} = 0.
Substituindo em (1-\zeta)S obtemos
(1-\zeta)S = 0 - n\zeta^{n} = -n\cdot 1 = -n.
Como \zeta\neq 1, podemos dividir por 1-\zeta e obter
S = -\frac{n}{1-\zeta}.

Passo 6

Escrevo a resposta em forma mais usual, observando que -\dfrac{1}{1-\zeta}=\dfrac{1}{\zeta-1}. Portanto
S=\frac{n}{\zeta-1}.
Para ganhar confiança, um exemplo rápido: se n=4 e \zeta=i, então a soma é
1+2i+3i^2+4i^3 = 1+2i-3-4i = -2-2i,
e a fórmula dá \dfrac{4}{i-1} = -2-2i, bate certinho.

Resposta

\displaystyle \frac{n}{\zeta-1}

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