31 Seja
uma raiz
-ésima da unidade, onde
. Determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma raiz
-ésima da unidade com
e
. Pede-se calcular a soma
Informações relevantes que temos:
e, por ser
, sabemos que
A resolução começará transformando
de forma a usar essas propriedades.
Passo 2
Defina explicitamente
A ideia boa aqui é multiplicar
por
. Por que isso ajuda? Porque o termo multiplicado por
desloca os expoentes e, ao subtrair, muitos termos vão se cancelar (telecopar), sobrando algo simples que podemos avaliar com
.
Passo 3
Calculemos
. Primeiro escrevo as duas partes da multiplicação:
Agora escrevo cada uma como soma:
Subtraindo termo a termo,
Passo 4
Reindexe a segunda soma para comparar termos com a primeira. Na segunda soma ponha
. Então quando
vai de
a
,
vai de
a
, e obtemos
Portanto
Agora alinhe os termos por potência de
. O coeficiente de
(termo constante) vem só da primeira soma e é
. Para
o coeficiente de
é
. E aparece também o termo da segunda soma com
, que é
. Assim
Passo 5
Use a propriedade das raízes
-ésimas da unidade:
e, como
,
Substituindo em
obtemos
Como
, podemos dividir por
e obter
Passo 6
Escrevo a resposta em forma mais usual, observando que
. Portanto
Para ganhar confiança, um exemplo rápido: se
e
, então a soma é
e a fórmula dá
, bate certinho.