34.19 Uma pessoa nadando 0,80 \mathrm{~m} abaixo da superfície da água em uma piscina olha para o trampolim que está diretamente acima e vê a imagem do trampolim que é formada pela refração na superfície da água. Essa imagem possui uma altura de 5,20 m acima do nadador. Qual é a altura real do trampolim a partir da superfície da água?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a altura real do trampolim acima da superfície da água, usando que:
  • A pessoa (nadador) está a 0,80\\ \mathrm{m} abaixo da superfície.
  • O nadador vê, por refração na superfície, a imagem do trampolim localizada a 5,20\\ \mathrm{m} acima dele.
  • É preciso relacionar a posição aparente (imagem) com a posição real do trampolim e achar a altura real a partir da superfície.
    Informações numéricas dadas: \,d=0,80\\ \mathrm{m} (profundidade do nadador) e a distância imagem–nadador \,=5,20\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Vamos definir variáveis e interpretar geometricamente o problema:
  • Seja \,H a altura real do trampolim medida a partir da superfície da água (é o que queremos achar).
  • Seja \,H_{\text{img}} a altura da imagem do trampolim medida a partir da superfície (ou seja, a distância vertical entre a superfície e a posição aparente do trampolim).
  • O nadador está a uma profundidade \,d=0,80\\ \mathrm{m} abaixo da superfície.
    A relação entre a informação do enunciado e \,H_{\text{img}} é:
\text{o enunciado diz: imagem a }5,20\\ \mathrm{m}\text{ acima do nadador}
portanto a altura da imagem acima da superfície vale
H_{\text{img}} = -(-d) + 5,20 = d + 5,20.
Aqui atenção ao sinal: o nadador está d abaixo da superfície, então uma imagem que esteja 5,20\\ \mathrm{m} acima do nadador fica a d+5,20 acima da superfície. Em números:
H_{\text{img}} = 0,80 + 5,20 = 4,40\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Explicando a física que vamos usar (didaticamente e devagar).
  • Lei de Snell (refração): \;n_{\text{ar}}\sin\theta_{1}=n_{\text{água}}\sin\theta_{2}á, onde \theta_{1} é o ângulo do raio no ar medido em relação à normal, \theta_{2} é o ângulo no interior da água, n_{\text{ar}} é o índice de refração do ar (aproximadamente 1) e n_{\text{água}}á é o índice da água (aproximadamente 1{,}33).
  • Para raios próximos ao eixo (pequenos ângulos) podemos usar a aproximação \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta (em radianos). Isso facilita muito a geometria porque os triângulos semelhantes dão \tan\theta_{1}\approx \dfrac{x}{H} e \tan\theta_{2}\approx \dfrac{x}{H_{\text{img}}} (onde x é um pequeno deslocamento lateral na superfície).
  • Substituindo na lei de Snell (com a aproximação pequena-ângulo):
n_{\text{ar}}\theta_{1}\approx n_{\text{água}}\theta_{2}.á
Usando \theta_{1}\approx \dfrac{x}{H} e \theta_{2}\approx \dfrac{x}{H_{\text{img}}} (os x cancelam), obtemos
n_{\text{ar}}\frac{1}{H}=n_{\text{água}}\frac{1}{H_{\text{img}}}.á
Reorganizando:
\frac{H_{\text{img}}}{H}=\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}.á
Essa é a relação importante: a altura aparente (medida a partir da superfície) é menor do que a altura real por um fator n_{\text{ar}}/n_{\text{água}}á quando se olha do interior da água para objetos no ar (paraxialmente).

Passo 4

Agora isolamos H (a altura real procurada):
H = \frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{ar}}}\,H_{\text{img}}.á
Substituindo os índices (usar n_{\text{ar}}=1 e n_{\text{água}}=1,33á) e o valor que calculamos para H_{\text{img}}:
H = 1{,}33\cdot H_{\text{img}}.

Passo 5

Calcular numericamente:
H_{\text{img}} = 0,80 + 5,20 = 4,40\\ \mathrm{m},
então
H = 1{,}33\cdot 4,40 = 5{,}852\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais, coerente com os dados),
H \approx 5,85\\ \mathrm{m}.

Resposta

5,85\\ \mathrm{m}

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