34.19 Uma pessoa nadando
abaixo da superfície da água em uma piscina olha para o trampolim que está diretamente acima e vê a imagem do trampolim que é formada pela refração na superfície da água. Essa imagem possui uma altura de 5,20 m acima do nadador. Qual é a altura real do trampolim a partir da superfície da água?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a altura real do trampolim acima da superfície da água, usando que:
- A pessoa (nadador) está a
abaixo da superfície. - O nadador vê, por refração na superfície, a imagem do trampolim localizada a
acima dele. - É preciso relacionar a posição aparente (imagem) com a posição real do trampolim e achar a altura real a partir da superfície.
Informações numéricas dadas:(profundidade do nadador) e a distância imagem–nadador .
Passo 2
Vamos definir variáveis e interpretar geometricamente o problema:
- Seja
a altura real do trampolim medida a partir da superfície da água (é o que queremos achar). - Seja
a altura da imagem do trampolim medida a partir da superfície (ou seja, a distância vertical entre a superfície e a posição aparente do trampolim). - O nadador está a uma profundidade
abaixo da superfície.
A relação entre a informação do enunciado eé:
portanto a altura da imagem acima da superfície vale
Aqui atenção ao sinal: o nadador está
abaixo da superfície, então uma imagem que esteja
acima do nadador fica a
acima da superfície. Em números:
Passo 3
Explicando a física que vamos usar (didaticamente e devagar).
- Lei de Snell (refração):
, onde é o ângulo do raio no ar medido em relação à normal, é o ângulo no interior da água, é o índice de refração do ar (aproximadamente ) e é o índice da água (aproximadamente ). - Para raios próximos ao eixo (pequenos ângulos) podemos usar a aproximação
(em radianos). Isso facilita muito a geometria porque os triângulos semelhantes dão e (onde é um pequeno deslocamento lateral na superfície). - Substituindo na lei de Snell (com a aproximação pequena-ângulo):
Usando
e
(os
cancelam), obtemos
Reorganizando:
Essa é a relação importante: a altura aparente (medida a partir da superfície) é menor do que a altura real por um fator
quando se olha do interior da água para objetos no ar (paraxialmente).
Passo 4
Agora isolamos
(a altura real procurada):
Substituindo os índices (usar
e
) e o valor que calculamos para
:
Passo 5
Calcular numericamente:
então
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais, coerente com os dados),