33.58 DADOS De posse de pequenas amostras de três líquidos, você é solicitado a determinar seus índices de refração. Entretanto, você não dispõe de uma quantidade suficiente de cada líquido para medir o ângulo de refração para refratar a luz do ar para dentro do vidro. Em vez disso, você coloca uma gota de cada líquido sobre a superfície de um bloco de vidro retangular (
). Em um dos lados do bloco, você emite um feixe de luz com comprimento de onda de 638 nm no vácuo e mede o maior ângulo de incidência
para o qual há reflexão interna total na interface entre o vidro e o líquido (Figura P33.58). Seus resultados estão na tabela a seguir:
Líquido
52,0
44,3
36,3
Qual é o índice de refração de cada líquido nesse comprimento de onda?
| Líquido |
|
|
|
|
|
52,0 | 44,3 | 36,3 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar o índice de refração de cada um dos três líquidos (A, B e C) para luz de comprimento de onda
, usando a seguinte medida experimental: sobre um bloco de vidro com índice
colocou-se uma gota do líquido e, a partir de um dos lados do bloco, foi emitido um feixe de luz; mediu-se o maior ângulo de incidência
(no ar, ao incidir na face lateral) para o qual ainda ocorre reflexão interna total na interface vidro–líquido. Os resultados fornecidos são:
Informações relevantes dadas:
- Índice do vidro:
. - Índice do ar:
(assumido). - Medidas de
em graus para A, B, C (valores acima).
O que é pedido: calcular o índice de refraçãode cada líquido a partir dessas medidas.
Passo 2
Entendendo o fenômeno físico — reflexão interna total (RIT) e ângulo crítico.
- RIT ocorre na interface entre dois meios quando a luz vai do meio mais denso (índice maior) para o menos denso (índice menor) e o ângulo de incidência interno excede o ângulo crítico.
- O ângulo crítico
na interface vidro–líquido satisfaz a lei de Snell para o caso limite (quando o raio refratado é tangente à superfície):
Portanto
- Para ocorrer RIT no interface vidro→líquido é necessário que o ângulo do raio dentro do vidro, medido em relação à normal da face vidro–líquido, seja
. O maior ângulo de entrada no ar que ainda produz RIT corresponde ao caso-limite em que . Precisamos relacionar (ângulo no ar na face lateral) com (ângulo com a normal da face superior).
Passo 3
Geometria do bloco retangular e relação dos ângulos.
- A face lateral (pela qual a luz entra) é perpendicular à face superior (onde está a gota). Se o raio incide na face lateral com ângulo
(em relação à normal da face lateral), pelo Snell na entrada ar→vidro vale:
onde
é o ângulo do raio dentro do vidro medido em relação à normal da face lateral.
- Porque as normais da face lateral e da face superior são perpendiculares, o ângulo
do raio com a normal da face superior (ou seja, o ângulo com a normal da superfície vidro–líquido) é
- No caso limite para RIT temos
. Então . Substituindo isso na relação de Snell na entrada:
Passo 4
Derivação da fórmula que relaciona
e
.
- Usando
, obtemos
- Como
, da equação do passo anterior:
- Simplificando:
- Despejando
:
Essa é a fórmula prática que usaremos para cada líquido. Observação: todas as quantidades dentro da raiz são adimensionais; é preciso usar
com
em graus convertido trigonométricamente.
Passo 5
Cálculo numérico para cada líquido (mostrando contas passo a passo). Vou usar
.
Líquido A,
.
- Calcular
: . -
. -
. -
.
Arredondando de forma prática:.
Líquido B,
.
-
. -
. -
.
Arredondando:.
Líquido C,
.
-
. -
. -
.
Arredondando:.
Passo 6
Interpretação rápida e checagem de consistência: conforme esperado, quanto maior
(ou seja, maior ângulo de entrada permitido para haver RIT), menor é o índice do líquido. Os valores obtidos estão todos menores que
, o que é consistente (só há RIT se
).
Resposta
A:
B:
C:
B:
C: