33.58 DADOS De posse de pequenas amostras de três líquidos, você é solicitado a determinar seus índices de refração. Entretanto, você não dispõe de uma quantidade suficiente de cada líquido para medir o ângulo de refração para refratar a luz do ar para dentro do vidro. Em vez disso, você coloca uma gota de cada líquido sobre a superfície de um bloco de vidro retangular ( n=1,52 ). Em um dos lados do bloco, você emite um feixe de luz com comprimento de onda de 638 nm no vácuo e mede o maior ângulo de incidência \theta_{a} para o qual há reflexão interna total na interface entre o vidro e o líquido (Figura P33.58). Seus resultados estão na tabela a seguir:
Líquido A B C
\theta_{\boldsymbol{a}}\left({ }^{\circ}\right) 52,0 44,3 36,3
Qual é o índice de refração de cada líquido nesse comprimento de onda?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o índice de refração de cada um dos três líquidos (A, B e C) para luz de comprimento de onda 638\\ \text{nm}, usando a seguinte medida experimental: sobre um bloco de vidro com índice n_{\text{g}}=1,52 colocou-se uma gota do líquido e, a partir de um dos lados do bloco, foi emitido um feixe de luz; mediu-se o maior ângulo de incidência \theta_{a} (no ar, ao incidir na face lateral) para o qual ainda ocorre reflexão interna total na interface vidro–líquido. Os resultados fornecidos são:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Líquido} & A & B & C\\\ \hline \theta_{a}\left(^{\circ}\right) & 52{,}0 & 44{,}3 & 36{,}3\\\ \hline \end{array}
Informações relevantes dadas:
  • Índice do vidro: n_{\text{g}}=1{,}52.
  • Índice do ar: n_{\text{ar}}=1 (assumido).
  • Medidas de \theta_{a} em graus para A, B, C (valores acima).
    O que é pedido: calcular o índice de refração n_{\text{líq}}í de cada líquido a partir dessas medidas.

Passo 2

Entendendo o fenômeno físico — reflexão interna total (RIT) e ângulo crítico.
  • RIT ocorre na interface entre dois meios quando a luz vai do meio mais denso (índice maior) para o menos denso (índice menor) e o ângulo de incidência interno excede o ângulo crítico.
  • O ângulo crítico \theta_{c} na interface vidro–líquido satisfaz a lei de Snell para o caso limite (quando o raio refratado é tangente à superfície):
n_{\text{g}}\sin\theta_{c}=n_{\text{líq}}\sin(90^\circ)=n_{\text{líq}}.íí
Portanto
\sin\theta_{c}=\frac{n_{\text{líq}}}{n_{\text{g}}}.í
  • Para ocorrer RIT no interface vidro→líquido é necessário que o ângulo do raio dentro do vidro, medido em relação à normal da face vidro–líquido, seja \theta_{\text{int}}>\theta_{c}. O maior ângulo de entrada \theta_{a} no ar que ainda produz RIT corresponde ao caso-limite em que \theta_{\text{int}}=\theta_{c}. Precisamos relacionar \theta_{a} (ângulo no ar na face lateral) com \theta_{\text{int}} (ângulo com a normal da face superior).

Passo 3

Geometria do bloco retangular e relação dos ângulos.
  • A face lateral (pela qual a luz entra) é perpendicular à face superior (onde está a gota). Se o raio incide na face lateral com ângulo \theta_{a} (em relação à normal da face lateral), pelo Snell na entrada ar→vidro vale:
n_{\text{ar}}\sin\theta_{a}=n_{\text{g}}\sin\varphi,
onde \varphi é o ângulo do raio dentro do vidro medido em relação à normal da face lateral.
  • Porque as normais da face lateral e da face superior são perpendiculares, o ângulo \theta_{\text{int}} do raio com a normal da face superior (ou seja, o ângulo com a normal da superfície vidro–líquido) é
\theta_{\text{int}}=90^\circ-\varphi.
  • No caso limite para RIT temos \theta_{\text{int}}=\theta_{c}. Então \varphi=90^\circ-\theta_{c}. Substituindo isso na relação de Snell na entrada:
n_{\text{ar}}\sin\theta_{a}=n_{\text{g}}\sin(90^\circ-\theta_{c})=n_{\text{g}}\cos\theta_{c}.

Passo 4

Derivação da fórmula que relaciona \theta_{a} e n_{\text{líq}}í.
  • Usando \sin\theta_{c}=\dfrac{n_{\text{líq}}}{n_{\text{g}}}í, obtemos
\cos\theta_{c}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta_{c}}=\sqrt{1-\left(\frac{n_{\text{líq}}}{n_{\text{g}}}\right)^{2}}.í
  • Como n_{\text{ar}}=1, da equação do passo anterior:
\sin\theta_{a}=n_{\text{g}}\cos\theta_{c}=n_{\text{g}}\sqrt{1-\left(\frac{n_{\text{líq}}}{n_{\text{g}}}\right)^{2}}.í
  • Simplificando:
\sin\theta_{a}=\sqrt{n_{\text{g}}^{2}-n_{\text{líq}}^{2}}.í
  • Despejando n_{\text{líq}}í:
n_{\text{líq}}=\sqrt{n_{\text{g}}^{2}-\sin^{2}\theta_{a}}.í
Essa é a fórmula prática que usaremos para cada líquido. Observação: todas as quantidades dentro da raiz são adimensionais; é preciso usar \sin\theta_{a} com \theta_{a} em graus convertido trigonométricamente.

Passo 5

Cálculo numérico para cada líquido (mostrando contas passo a passo). Vou usar n_{\text{g}}=1{,}52.
Líquido A, \theta_{a}=52{,}0^\circ.
  • Calcular \sin\theta_{a}: \sin(52{,}0^\circ)\approx 0{,}7880.
  • \sin^{2}\theta_{a}\approx 0{,}7880^{2}=0{,}62096.
  • n_{\text{g}}^{2}=1{,}52^{2}=2{,}3104.
  • n_{\text{líq}}=\sqrt{2{,}3104-0{,}62096}=\sqrt{1{,}68944}\approx 1{,}2998í.
    Arredondando de forma prática: n_{A}\approx 1{,}30.
Líquido B, \theta_{a}=44{,}3^\circ.
  • \sin(44{,}3^\circ)\approx 0{,}7009.
  • \sin^{2}\theta_{a}\approx 0{,}7009^{2}=0{,}4913.
  • n_{\text{líq}}=\sqrt{2{,}3104-0{,}4913}=\sqrt{1{,}8191}\approx 1{,}3484í.
    Arredondando: n_{B}\approx 1{,}35.
Líquido C, \theta_{a}=36{,}3^\circ.
  • \sin(36{,}3^\circ)\approx 0{,}5926.
  • \sin^{2}\theta_{a}\approx 0{,}5926^{2}=0{,}3512.
  • n_{\text{líq}}=\sqrt{2{,}3104-0{,}3512}=\sqrt{1{,}9592}\approx 1{,}3997í.
    Arredondando: n_{C}\approx 1{,}40.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem de consistência: conforme esperado, quanto maior \theta_{a} (ou seja, maior ângulo de entrada permitido para haver RIT), menor é o índice do líquido. Os valores obtidos estão todos menores que n_{\text{g}}=1{,}52, o que é consistente (só há RIT se n_{\text{líq}}<n_{\text{g}}í).

Resposta

A: 1{,}30
B: 1{,}35
C: 1{,}40

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