34.32 • Um slide fotográfico está situado à esquerda de uma lente. A lente projeta a imagem do slide sobre uma parede situada 6,0 \mathrm{~m} à direita do slide. O tamanho da imagem é 80 vezes maior que o tamanho do slide. (a) Qual é a distância entre o slide e a lente? (b) A imagem é direita ou invertida? (c) Qual é a distância focal da lente? (d) A lente é convergente ou divergente?

Passo 1

O enunciado dá um slide (objeto) à esquerda de uma lente e a imagem desse slide é projetada numa parede situada 6,0\\ \text{m} à direita do slide. O tamanho da imagem é 80 vezes o tamanho do slide. O exercício pede:
(a) Qual é a distância entre o slide e a lente?
(b) A imagem é direita ou invertida?
(c) Qual é a distância focal da lente?
(d) A lente é convergente ou divergente?
Informações relevantes fornecidas:
\text{distância objeto–parede} = 6,0\\ \text{m}â
\text{razão de tamanhos (magnificação em módulo)} = 80ãçãó
Observação implícita: a imagem está projetada sobre uma parede (ou tela), ou seja, é uma imagem real formada num anteparo.

Passo 2

Defino variáveis e as fórmulas que usarei (cada símbolo explicado):
d_o:\\ \text{distância do objeto (slide) até a lente;}âé
d_i:\\ \text{distância da lente até a imagem (na parede);}âé
f:\\ \text{distância focal da lente.}â
Duas fórmulas padrão para lentes finas que vou usar:
  1. Equação da lente:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
Explicação: essa fórmula relaciona a distância focal da lente com as distâncias do objeto e da imagem; todas as distâncias são medidas a partir do centro óptico da lente.
  1. Magnificação transversal (relação entre alturas):
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},
onde h_i é a altura da imagem e h_o é a altura do objeto. O sinal em m indica orientação: m>0 significa imagem direita (mesma orientação do objeto); m<0 significa imagem invertida. Aqui nos interessa o módulo de m (tamanho relativo) e também o sinal para saber se a imagem é invertida.
Como a imagem é projetada sobre uma parede (imagem em tela), ela é uma imagem real; imagens reais formadas por lentes simples são invertidas em relação ao objeto, portanto o sinal de m é negativo. Como o enunciado diz que a imagem é 80 vezes maior, temos o módulo |m|=80 e, por ser real/invertida,
m=-80.
Usando a fórmula da magnificação:
-80=-\frac{d_i}{d_o}\quad\Longrightarrow\quad \frac{d_i}{d_o}=80\quad\Longrightarrow\quad d_i=80\,d_o.

Passo 3

Uso a informação geométrica: a distância entre o slide e a parede é a soma das distâncias do objeto e da imagem até a lente (porque a lente fica entre eles). Assim
d_o+d_i=6,0\\ \text{m}.
Substituindo d_i=80\,d_o obtemos:
d_o+80\,d_o=6,0
81\,d_o=6,0
d_o=\frac{6,0}{81}=\frac{2}{27}\\ \text{m}.
Calculemos o valor numérico (aproximado com 3 algarismos significativos):
d_o=\frac{2}{27}\\ \text{m}\approx 0,07407\\ \text{m}=7,407\\ \text{cm}.

Passo 4

Agora calculo d_i usando d_i=80\,d_o:
d_i=80\cdot\frac{2}{27}=\frac{160}{27}\\ \text{m}.
Valor numérico:
d_i=\frac{160}{27}\\ \text{m}\approx 5,9259\\ \text{m}.
Verificação rápida: d_o+d_i\approx 0,07407+5,92593=6,0000\\ \text{m}, conforme dado.

Passo 5

Agora uso a equação da lente para achar a distância focal f:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
Substituo as frações exatas d_o=\dfrac{2}{27} e d_i=\dfrac{160}{27}:
\frac{1}{d_o}=\frac{27}{2}=13{,}5\\ \text{m}^{-1},
\frac{1}{d_i}=\frac{27}{160}=0{,}16875\\ \text{m}^{-1}.
Somando:
\frac{1}{f}=13{,}5+0{,}16875=13{,}66875\\ \text{m}^{-1}.
Portanto
f=\frac{1}{13{,}66875}\\ \text{m}\approx 0{,}07315\\ \text{m}=7{,}315\\ \text{cm}.
Também é possível obter f em forma de fração exata: usando as frações anteriores chega-se a f=\dfrac{160}{2187}\\ \text{m}, que é numericamente equivalente ao valor acima.

Passo 6

Orientação da imagem e tipo de lente:
  • Como a imagem foi projetada em uma parede (imagem real), e real → invertida, respondemos que a imagem é invertida.
  • A distância focal calculada é positiva ( f\approx 0{,}07315\\ \text{m}), o que, na convenção usual, significa que a lente é convergente (lente convexa). Além disso, apenas lentes convergentes formam imagens reais projetáveis em tela quando o objeto está fora do foco.

Resposta

(a) d_o=\dfrac{2}{27}\\ \text{m}\approx 0{,}07407\\ \text{m}=7{,}41\\ \text{cm}
(b) A imagem é invertida.
(c) f\approx 0{,}07315\\ \text{m}=7{,}32\\ \text{cm}
(d) A lente é convergente.

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