34.21 •• Um aquário esférico. Um pequeno peixe tropical está no centro de um aquário esférico com diâmetro de 28,0 \mathrm{~cm} e totalmente preenchido de água. (a) Determine a posição aparente e a ampliação do peixe em relação a um observador na parte externa do aquário. Despreze os efeitos da fina parede do aquário. (b) Um amigo aconselha ao dono do aquário que não o mantenha exposto aos raios solares porque o peixe poderia ficar cego quando estivesse nadando próximo ao foco formado pelos raios solares paralelos. O foco realmente se forma no interior do aquário?

Passo 1

O enunciado dá um aquário esférico totalmente cheio de água com diâmetro 28{,}0\\ \mathrm{cm}. O peixe está no centro da esfera. Pede-se: (a) a posição aparente do peixe e a ampliação vista por um observador fora do aquário (desprezando a espessura da parede); (b) verificar se raios solares paralelos formam um foco no interior do aquário. Dados relevantes que vamos usar: raio da esfera \,R=14{,}0\\ \mathrm{cm}\, (metade do diâmetro) e índice de refração da água que usaremos como \,n=1{,}33 (ar fora: n_{\text{ar}}=1{,}00). A resolução começa agora.

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas do tipo “o que você precisa saber”): quando um raio de luz incide numa superfície esférica, ele é refratado segundo a lei de Snell; porém se o raio parte do centro da esfera e atinge qualquer ponto da superfície, ele incide exatamente na direção normal à superfície (porque o raio que liga centro ao ponto da superfície é a normal local). Quando a luz incide exatamente na normal, não há desvio de direção ao passar de um meio para outro — a luz muda de velocidade, mas segue na mesma linha. Esse fato será o coração da resolução do item (a).

Passo 3

Aplicando o conceito ao problema (item a): o peixe está no centro. Qualquer raio que saia dele e atinja a superfície esférica faz isso ao longo de uma normal local, logo cada raio emerge para o ar sem mudar de direção. Para um observador externo, os raios que chegam aos olhos são exatamente os mesmos que teriam vindo do peixe se não houvesse mudança de meio; ao traçar (retroprojetar) esses raios em linha reta, o observador os encontra convergindo no próprio ponto onde o peixe está — isto é, a imagem aparente coincide com o objeto real. Em palavras simples: o peixe situado no centro aparece para o observador externo exatamente no centro da esfera, sem deslocamento.

Passo 4

Ampliação lateral (como medir quanto o peixe parece maior/menor): a ampliação lateral m relaciona um tamanho linear de imagem com o tamanho linear do objeto. Como os raios saem sem desvio de direção, os raios que delimitam um pequeno tamanho do peixe mantêm a mesma geometria ao sair; portanto a imagem tem o mesmo tamanho do objeto. Assim a ampliação lateral é
m=1.
(se preferir uma fórmula de superfície esférica, existe a forma geral da refração numa superfície esférica e a fórmula da ampliação, mas aqui a razão física é bem mais direta — raios normais → sem desvio → m=1.)

Passo 5

Agora item (b): o amigo teme que raios solares paralelos sejam refratados formando um foco dentro da água, podendo queimar o peixe. Precisamos verificar onde, se em algum lugar, raios paralelos que entram pela superfície se reúnem após atravessar a esfera. Como o aquário tem duas superfícies esféricas (entrada e saída), devemos tratar a esfera cheia de água como uma lente espessa (duas refracções). A fórmula prática que usa a geometria de uma lente esférica (a conhecida “fórmula da lente grossa” / fórmula do fabricante de lentes) aplicada a uma lente simétrica dá o foco efetivo. Vamos deduzir essa expressão de forma direta para a esfera.

Passo 6

Resumo da dedução do foco da esfera (o que cada símbolo significa): n é o índice da água, R é o raio da esfera, t é a espessura da lente (aqui t=2R, o diâmetro). A fórmula de fabricação para a distância focal f de uma lente de índice n em ar, com raios de curvatura R_1 e R_2 e espessura t, é
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}+\frac{(n-1)t}{nR_1R_2}\right).
No nosso caso, para a esfera cheia de água: R_1=R (primeira superfície convexa vista pelo sol), R_2=-R (a segunda superfície tem curvatura oposta), e t=2R. Substituindo:
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{-R}+\frac{(n-1)\,2R}{n\,(R)(-R)}\right) =(n-1)\!\left(\frac{2}{R}-\frac{2(n-1)}{nR}\right).
Colocando sobre um mesmo denominador:
\frac{1}{f}=(n-1)\frac{2}{R}\left(1-\frac{n-1}{n}\right)=(n-1)\frac{2}{R}\cdot\frac{1}{n}=\frac{2(n-1)}{nR}.
Invertendo, obtemos a distância focal efetiva (medida a partir do centro da esfera, pela simetria do sistema):
f=\frac{nR}{2(n-1)}.
Expliquei cada etapa: a fórmula inicial é a forma geral da lente grossa (aí aparecem os R_1,R_2,t,n); ao escolher os sinais corretos e t=2R chegamos à expressão final simples acima.

Passo 7

Cálculo numérico do foco com n=1{,}33 e R=14{,}0\\ \mathrm{cm}:
f=\frac{1{,}33\cdot 14{,}0}{2(1{,}33-1{,}00)} =\frac{18{,}62}{2\cdot 0{,}33} =\frac{18{,}62}{0{,}66}\approx 28{,}24\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: esse f é medido a partir do centro da esfera (pela simetria). Como o raio da esfera é 14{,}0\\ \mathrm{cm}, o ponto focal resultante está a 28{,}24\\ \mathrm{cm} do centro — ou seja, a uma distância maior que o raio; em particular o foco está bem fora do interior da esfera (está fora do volume de água). Assim raios solares paralelos não se concentram num ponto dentro do aquário.

Passo 8

Checagem alternativa (intuição extra): se considerássemos só a primeira superfície (ar → água), a distância focal para superfícies esféricas individuais daria um ponto ainda mais distante (calc.: s'=\dfrac{nR}{n-1}\approx 56{,}5\\ \mathrm{cm} a partir do vértice), também claramente fora do aquário. Portanto nem a primeira nem o conjunto das duas superfícies colocam o foco dentro do volume de água do aquário esférico de raio 14{,}0\\ \mathrm{cm}.

Passo 9

Conclusão prática e encorajamento: o peixe no centro aparece no centro e com o mesmo tamanho para um observador externo; e o medo do amigo de que o sol foque raios dentro do aquário e queime o peixe não procede — o foco calculado fica fora da esfera. Bom trabalho — você já entendeu a ideia física central: raios do centro são normais (item a) e a esfera como lente tem foco além do volume interno (item b). Força nos estudos!

Resposta

(a) O peixe aparece no centro da esfera (mesma posição real) e a ampliação é m=1.
(b) Não. O foco para raios paralelos está a
\,f=\dfrac{nR}{2(n-1)}\approx 28{,}24\\ \mathrm{cm}\, do centro (usando n=1{,}33 e R=14{,}0\\ \mathrm{cm}), portanto fora do interior do aquário.

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