34.21 •• Um aquário esférico. Um pequeno peixe tropical está no centro de um aquário esférico com diâmetro de
e totalmente preenchido de água. (a) Determine a posição aparente e a ampliação do peixe em relação a um observador na parte externa do aquário. Despreze os efeitos da fina parede do aquário. (b) Um amigo aconselha ao dono do aquário que não o mantenha exposto aos raios solares porque o peixe poderia ficar cego quando estivesse nadando próximo ao foco formado pelos raios solares paralelos. O foco realmente se forma no interior do aquário?
Passo 1
O enunciado dá um aquário esférico totalmente cheio de água com diâmetro
. O peixe está no centro da esfera. Pede-se: (a) a posição aparente do peixe e a ampliação vista por um observador fora do aquário (desprezando a espessura da parede); (b) verificar se raios solares paralelos formam um foco no interior do aquário. Dados relevantes que vamos usar: raio da esfera
(metade do diâmetro) e índice de refração da água que usaremos como
(ar fora:
). A resolução começa agora.
Passo 2
Conceito importante (aulas rápidas do tipo “o que você precisa saber”): quando um raio de luz incide numa superfície esférica, ele é refratado segundo a lei de Snell; porém se o raio parte do centro da esfera e atinge qualquer ponto da superfície, ele incide exatamente na direção normal à superfície (porque o raio que liga centro ao ponto da superfície é a normal local). Quando a luz incide exatamente na normal, não há desvio de direção ao passar de um meio para outro — a luz muda de velocidade, mas segue na mesma linha. Esse fato será o coração da resolução do item (a).
Passo 3
Aplicando o conceito ao problema (item a): o peixe está no centro. Qualquer raio que saia dele e atinja a superfície esférica faz isso ao longo de uma normal local, logo cada raio emerge para o ar sem mudar de direção. Para um observador externo, os raios que chegam aos olhos são exatamente os mesmos que teriam vindo do peixe se não houvesse mudança de meio; ao traçar (retroprojetar) esses raios em linha reta, o observador os encontra convergindo no próprio ponto onde o peixe está — isto é, a imagem aparente coincide com o objeto real. Em palavras simples: o peixe situado no centro aparece para o observador externo exatamente no centro da esfera, sem deslocamento.
Passo 4
Ampliação lateral (como medir quanto o peixe parece maior/menor): a ampliação lateral
relaciona um tamanho linear de imagem com o tamanho linear do objeto. Como os raios saem sem desvio de direção, os raios que delimitam um pequeno tamanho do peixe mantêm a mesma geometria ao sair; portanto a imagem tem o mesmo tamanho do objeto. Assim a ampliação lateral é
(se preferir uma fórmula de superfície esférica, existe a forma geral da refração numa superfície esférica e a fórmula da ampliação, mas aqui a razão física é bem mais direta — raios normais → sem desvio →
.)
Passo 5
Agora item (b): o amigo teme que raios solares paralelos sejam refratados formando um foco dentro da água, podendo queimar o peixe. Precisamos verificar onde, se em algum lugar, raios paralelos que entram pela superfície se reúnem após atravessar a esfera. Como o aquário tem duas superfícies esféricas (entrada e saída), devemos tratar a esfera cheia de água como uma lente espessa (duas refracções). A fórmula prática que usa a geometria de uma lente esférica (a conhecida “fórmula da lente grossa” / fórmula do fabricante de lentes) aplicada a uma lente simétrica dá o foco efetivo. Vamos deduzir essa expressão de forma direta para a esfera.
Passo 6
Resumo da dedução do foco da esfera (o que cada símbolo significa):
é o índice da água,
é o raio da esfera,
é a espessura da lente (aqui
, o diâmetro). A fórmula de fabricação para a distância focal
de uma lente de índice
em ar, com raios de curvatura
e
e espessura
, é
No nosso caso, para a esfera cheia de água:
(primeira superfície convexa vista pelo sol),
(a segunda superfície tem curvatura oposta), e
. Substituindo:
Colocando sobre um mesmo denominador:
Invertendo, obtemos a distância focal efetiva (medida a partir do centro da esfera, pela simetria do sistema):
Expliquei cada etapa: a fórmula inicial é a forma geral da lente grossa (aí aparecem os
); ao escolher os sinais corretos e
chegamos à expressão final simples acima.
Passo 7
Cálculo numérico do foco com
e
:
Interpretação: esse
é medido a partir do centro da esfera (pela simetria). Como o raio da esfera é
, o ponto focal resultante está a
do centro — ou seja, a uma distância maior que o raio; em particular o foco está bem fora do interior da esfera (está fora do volume de água). Assim raios solares paralelos não se concentram num ponto dentro do aquário.
Passo 8
Checagem alternativa (intuição extra): se considerássemos só a primeira superfície (ar → água), a distância focal para superfícies esféricas individuais daria um ponto ainda mais distante (calc.:
a partir do vértice), também claramente fora do aquário. Portanto nem a primeira nem o conjunto das duas superfícies colocam o foco dentro do volume de água do aquário esférico de raio
.
Passo 9
Conclusão prática e encorajamento: o peixe no centro aparece no centro e com o mesmo tamanho para um observador externo; e o medo do amigo de que o sol foque raios dentro do aquário e queime o peixe não procede — o foco calculado fica fora da esfera. Bom trabalho — você já entendeu a ideia física central: raios do centro são normais (item a) e a esfera como lente tem foco além do volume interno (item b). Força nos estudos!
Resposta
(a) O peixe aparece no centro da esfera (mesma posição real) e a ampliação é
.
(b) Não. O foco para raios paralelos está a
do centro (usando
e
), portanto fora do interior do aquário.
(b) Não. O foco para raios paralelos está a