34.66 • Onde você deve colocar um objeto em frente a um espelho côncavo com raio R, de modo que a imagem seja direita e 2,5 vezes maior que o objeto? Onde a imagem se forma?

Passo 1

O enunciado diz: espelho côncavo com raio R. Pergunta 1: onde colocar o objeto (distância ao espelho) para que a imagem seja direita (não invertida) e tenha tamanho 2{,}5 vezes o do objeto? Pergunta 2: onde (a que distância do espelho) essa imagem se forma?
Informações dadas: o raio do espelho é R e a razão de tamanhos pedida é m=+2{,}5 (imagem direita e 2{,}5 vezes maior).
O que precisamos achar: a distância objeto d_o (medida a partir do vértice do espelho, para a frente do espelho) e a posição da imagem d_i (sinalizada de acordo com a convenção: distância positiva se a imagem for real, em frente ao espelho; negativa se virtual, atrás do espelho).

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas essenciais e o que cada símbolo significa (aqui explico devagar para você fixar).
A relação entre raio e distância focal para um espelho esférico é
f=\frac{R}{2},
onde f é a distância focal (distância do foco ao vértice do espelho) e R é o raio de curvatura. Para espelho côncavo tomamos f>0.
A equação dos espelhos relaciona foco, objeto e imagem:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i},
onde d_o é a distância do objeto ao espelho (positiva se o objeto estiver na frente do espelho — caso usual) e d_i é a distância da imagem ao espelho (positiva para imagem real em frente ao espelho, negativa para imagem virtual atrás do espelho).
A ampliação lateral (razão entre altura da imagem e do objeto) é dada por
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},
onde h_i e h_o são as alturas da imagem e do objeto, respectivamente. O sinal de m indica orientação: m>0 imagem direita (não invertida), m<0 imagem invertida. Aqui nos deram m=+2{,}5, ou seja, imagem direita e 2{,}5 vezes maior.

Passo 3

Interpretação do sinal: como m>0, a imagem é direita → necessariamente é uma imagem virtual (para espelho côncavo a imagem direita só ocorre quando o objeto está dentro do foco), então teremos d_i<0. Usando a fórmula da ampliação:
m=-\frac{d_i}{d_o}.
Substituindo m=2{,}5 obtemos
2{,}5=-\frac{d_i}{d_o}\quad\Longrightarrow\quad d_i=-2{,}5\,d_o.
Isso confirma que d_i é negativo (virtual, atrás do espelho).

Passo 4

Agora usamos a equação dos espelhos com d_i=-2{,}5\,d_o:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{-2{,}5\,d_o} =\frac{1}{d_o}\left(1-\frac{1}{2{,}5}\right).
Calcule a diferença dentro do parêntese: \dfrac{1}{2{,}5}=\dfrac{2}{5}=0{,}4, então 1-0{,}4=0{,}6=\dfrac{3}{5}. Assim
\frac{1}{f}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{d_o}.
Invertemos para obter d_o:
d_o=\frac{3}{5}\,f=0{,}6\,f.

Passo 5

Substituímos f=\dfrac{R}{2} (relembrando a fórmula do Passo 2):
d_o=0{,}6\;f=0{,}6\cdot\frac{R}{2}=\frac{3}{10}\,R=0{,}3\,R.
Portanto o objeto deve ser colocado a uma distância d_o=\dfrac{3}{10}R (ou 0{,}3\,R) em frente ao espelho.

Passo 6

Agora calculamos a posição da imagem usando d_i=-2{,}5\,d_o:
d_i=-2{,}5\cdot d_o=-2{,}5\cdot\frac{3}{10}\,R=-\frac{15}{20}\,R=-\frac{3}{4}\,R=-0{,}75\,R.
O sinal negativo indica que a imagem é virtual e está atrás do espelho; o módulo \,0{,}75\,R é a distância da imagem ao vértice do espelho, medida no lado oposto ao objeto.

Passo 7

Cheque rápido para ver se tudo bate: a ampliação prevista é
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{-0{,}75\,R}{0{,}3\,R}=+\frac{0{,}75}{0{,}3}=+\;2{,}5,
exatamente o que queríamos. Além disso d_o=0{,}3\,R é menor que f=R/2=0{,}5\,R, ou seja, o objeto está dentro do foco — situação que gera imagem virtual, direita e ampliada, como esperado.

Resposta

Objeto: d_o=\dfrac{3}{10}\,R=0{,}3\,R (em frente ao espelho).
Imagem: virtual, direita e com ampliação m=+2{,}5; localizada a d_i=-\dfrac{3}{4}\,R=-0{,}75\,R (ou seja, 0{,}75\,R atrás do espelho).

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