34.66 • Onde você deve colocar um objeto em frente a um espelho côncavo com raio
, de modo que a imagem seja direita e 2,5 vezes maior que o objeto? Onde a imagem se forma?
Passo 1
O enunciado diz: espelho côncavo com raio
. Pergunta 1: onde colocar o objeto (distância ao espelho) para que a imagem seja direita (não invertida) e tenha tamanho
vezes o do objeto? Pergunta 2: onde (a que distância do espelho) essa imagem se forma?
Informações dadas: o raio do espelho é e a razão de tamanhos pedida é
(imagem direita e
vezes maior).
O que precisamos achar: a distância objeto (medida a partir do vértice do espelho, para a frente do espelho) e a posição da imagem
(sinalizada de acordo com a convenção: distância positiva se a imagem for real, em frente ao espelho; negativa se virtual, atrás do espelho).
Informações dadas: o raio do espelho é
O que precisamos achar: a distância objeto
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas essenciais e o que cada símbolo significa (aqui explico devagar para você fixar).
A relação entre raio e distância focal para um espelho esférico é
A relação entre raio e distância focal para um espelho esférico é
onde
é a distância focal (distância do foco ao vértice do espelho) e
é o raio de curvatura. Para espelho côncavo tomamos
.
A equação dos espelhos relaciona foco, objeto e imagem:
A equação dos espelhos relaciona foco, objeto e imagem:
onde
é a distância do objeto ao espelho (positiva se o objeto estiver na frente do espelho — caso usual) e
é a distância da imagem ao espelho (positiva para imagem real em frente ao espelho, negativa para imagem virtual atrás do espelho).
A ampliação lateral (razão entre altura da imagem e do objeto) é dada por
A ampliação lateral (razão entre altura da imagem e do objeto) é dada por
onde
e
são as alturas da imagem e do objeto, respectivamente. O sinal de
indica orientação:
imagem direita (não invertida),
imagem invertida. Aqui nos deram
, ou seja, imagem direita e
vezes maior.
Passo 3
Interpretação do sinal: como
, a imagem é direita → necessariamente é uma imagem virtual (para espelho côncavo a imagem direita só ocorre quando o objeto está dentro do foco), então teremos
. Usando a fórmula da ampliação:
Substituindo
obtemos
Isso confirma que
é negativo (virtual, atrás do espelho).
Passo 4
Agora usamos a equação dos espelhos com
:
Calcule a diferença dentro do parêntese:
, então
. Assim
Invertemos para obter
:
Passo 5
Substituímos
(relembrando a fórmula do Passo 2):
Portanto o objeto deve ser colocado a uma distância
(ou
) em frente ao espelho.
Passo 6
Agora calculamos a posição da imagem usando
:
O sinal negativo indica que a imagem é virtual e está atrás do espelho; o módulo
é a distância da imagem ao vértice do espelho, medida no lado oposto ao objeto.
Passo 7
Cheque rápido para ver se tudo bate: a ampliação prevista é
exatamente o que queríamos. Além disso
é menor que
, ou seja, o objeto está dentro do foco — situação que gera imagem virtual, direita e ampliada, como esperado.
Resposta
Objeto:
(em frente ao espelho).
Imagem: virtual, direita e com ampliação ; localizada a
(ou seja,
atrás do espelho).
Imagem: virtual, direita e com ampliação