34.32 Um slide fotográfico está situado à esquerda de uma lente. A lente projeta a imagem do slide sobre uma parede situada
à direita do slide. O tamanho da imagem é 80 vezes maior que o tamanho do slide.
Qual é a distância entre o slide e a lente?
Qual é a distância entre o slide e a lente?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo tirado do enunciado):
- A parede onde a imagem é projetada está a
à direita do slide. - O tamanho da imagem é
vezes o tamanho do slide (ou seja, a ampliação linear tem magnitude ).
O que se pede: - Determinar a distância entre o slide e a lente (ou seja, a distância do objeto até a lente).
Passo 2
Definições e relações básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Seja
a distância do objeto (slide) até a lente. Por convenção usarei para a distância numérica. - Seja
a distância da lente até a imagem (a parede), também com numericamente. - A ampliação linear (razão entre tamanho da imagem e do objeto) tem magnitude dada por
Para lentes delgadas e imagens reais formadas por semelhança de triângulos vale (em magnitude)
Comentário rápido sobre essa fórmula: imagine triângulos semelhantes formados pelos raios que saem do topo do objeto e passam pela lente; a razão altura imagem/altura objeto coincide com a razão das distâncias
. Para imagens reais a ampliação é negativa (imagem invertida), mas aqui só precisamos da magnitude
.
Passo 3
Expressar as equações do problema usando as informações dadas:
- Como a parede está a
do slide e a lente fica entre eles, a soma das distâncias do slide até a lente e da lente até a parede é
- A ampliação (magnitude) dada é
, portanto
Passo 4
Resolver o sistema de equações:
Substituindo em
obtemos
Substituindo
Isso dá
Logo
Simplificando a fração:
Recordando que
, temos
Passo 5
Arredondamento e verificação rápida:
- Com os dados iniciais (por exemplo
com duas algarismos significativos), é razoável dar com duas algarismos significativos: , que equivale a . - Verificação numérica:
e , consistente com o enunciado.