34.32 Um slide fotográfico está situado à esquerda de uma lente. A lente projeta a imagem do slide sobre uma parede situada 6,0 \mathrm{~m} à direita do slide. O tamanho da imagem é 80 vezes maior que o tamanho do slide.
Qual é a distância entre o slide e a lente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo tirado do enunciado):
  • A parede onde a imagem é projetada está a 6,0\\ \text{m} à direita do slide.
  • O tamanho da imagem é 80 vezes o tamanho do slide (ou seja, a ampliação linear tem magnitude 80).
    O que se pede:
  • Determinar a distância entre o slide e a lente (ou seja, a distância do objeto até a lente).

Passo 2

Definições e relações básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Seja u a distância do objeto (slide) até a lente. Por convenção usarei u>0 para a distância numérica.
  • Seja v a distância da lente até a imagem (a parede), também com v>0 numericamente.
  • A ampliação linear (razão entre tamanho da imagem e do objeto) tem magnitude dada por
\left|M\right|=\frac{\text{tamanho da imagem}}{\text{tamanho do objeto}}.
Para lentes delgadas e imagens reais formadas por semelhança de triângulos vale (em magnitude)
\left|M\right|=\frac{v}{u}.
Comentário rápido sobre essa fórmula: imagine triângulos semelhantes formados pelos raios que saem do topo do objeto e passam pela lente; a razão altura imagem/altura objeto coincide com a razão das distâncias v/u. Para imagens reais a ampliação é negativa (imagem invertida), mas aqui só precisamos da magnitude 80.

Passo 3

Expressar as equações do problema usando as informações dadas:
  • Como a parede está a 6,0\\ \text{m} do slide e a lente fica entre eles, a soma das distâncias do slide até a lente e da lente até a parede é
u+v=6,0\\ \text{m}.
  • A ampliação (magnitude) dada é 80, portanto
\frac{v}{u}=80 \quad\Rightarrow\quad v=80\,u.

Passo 4

Resolver o sistema de equações:
Substituindo v=80\,u em u+v=6,0 obtemos
u+80\,u=6,0.
Isso dá
81\,u=6,0.
Logo
u=\frac{6,0}{81}.
Simplificando a fração:
\frac{6,0}{81}=\frac{6}{81}=\frac{2}{27}.
Recordando que \dfrac{1}{27}=0,037037\ldots, temos
u=2\cdot\frac{1}{27}=2\cdot0,037037\ldots=0,074074\ldots\\ \text{m}.

Passo 5

Arredondamento e verificação rápida:
  • Com os dados iniciais (por exemplo 6,0\\ \text{m} com duas algarismos significativos), é razoável dar u com duas algarismos significativos: u\approx0,074\\ \text{m}, que equivale a 7,4\\ \text{cm}.
  • Verificação numérica: v=80\,u\approx80\cdot0,074074\ldots\approx5,926\\ \text{m} e u+v\approx0,074074\ldots+5,925925\ldots=6,0\\ \text{m}, consistente com o enunciado.

Resposta

\,0,074\\ \text{m}

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