Uma partícula està na posiçăo \vec{r}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{k}(\mathrm{em} \mathrm{m}) com uma quantidade de movimento linear \vec{p}=3 \vec{i}- 4 \vec{j}+6 \vec{k} ( cm unidades do Sl ) e sobre cla atua a força \vec{F}=-3 \vec{i}+4 \vec{j}+2 \vec{k}(\mathrm{~cm} \mathrm{~N}).
Determine
a) o torque da força.
b) o vetor momento angular da particula.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o torque (momento de força) exercido pela força \vec{F} na partícula;
  • (b) o vetor momento angular (angular momentum) da partícula relativo à origem.
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado) são:
  • posição: \displaystyle \vec{r}=2\vec{i}+4\vec{j}-5\vec{k} (em metros);
  • quantidade de movimento linear: \displaystyle \vec{p}=3\vec{i}-4\vec{j}+6\vec{k} (assumirei unidades do SI: \mathrm{kg\cdot m/s});
  • força: \displaystyle \vec{F}=-3\vec{i}+4\vec{j}+2\vec{k} (assumirei unidades do SI: \mathrm{N}).
Observação: o enunciado contém pequenas incoerências textuais quanto às unidades, então adotei a interpretação usual em problemas de mecânica: \vec{r} em metros, \vec{p} em \mathrm{kg\cdot m/s} e \vec{F} em newtons.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
  • O torque (ou momento da força) \vec{\tau} em relação à origem é dado pelo produto vetorial (cross product) entre o vetor posição \vec{r} e a força \vec{F}:
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
  • O momento angular (angular momentum) \vec{L} de uma partícula de posição \vec{r} e quantidade de movimento \vec{p} é também um produto vetorial:
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
Sobre o produto vetorial (como calcular e o que significa):
  • Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} tem componentes dadas pela regra:
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2\bigr)\vec{i} -\bigl(a_1 b_3 - a_3 b_1\bigr)\vec{j} +\bigl(a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr)\vec{k}.
  • Outra forma usual de memorizar é usar o determinante com a base \vec{i},\vec{j},\vec{k}:
\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
  • Intuição rápida: o vetor \vec{a}\times\vec{b} é perpendicular a \vec{a} e a \vec{b} e seu sentido obedece à regra da mão direita.

Passo 3

Cálculo do torque \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
Primeiro escrevo as componentes numéricas:
\displaystyle \vec{r}=(2,\,4,\,-5) e \displaystyle \vec{F}=(-3,\,4,\,2).
Usando a fórmula por componentes:
\begin{aligned} \tau_x &= a_2 b_3 - a_3 b_2 = 4\cdot 2 - (-5)\cdot 4,\\[4pt] \tau_y &= -\bigl(a_1 b_3 - a_3 b_1\bigr) = -\bigl(2\cdot 2 - (-5)\cdot(-3)\bigr),\\[4pt] \tau_z &= a_1 b_2 - a_2 b_1 = 2\cdot 4 - 4\cdot(-3). \end{aligned}
Faço as contas passo a passo:
\tau_x = 4\cdot 2 - (-5)\cdot 4 = 8 - (-20) = 8 + 20 = 28.
\tau_y = -\bigl(2\cdot 2 - (-5)\cdot(-3)\bigr) = -\bigl(4 - 15\bigr) = -(-11)=11.
\tau_z = 2\cdot 4 - 4\cdot(-3) = 8 - (-12) = 8 + 12 = 20.
Portanto o torque é
\vec{\tau}=28\vec{i}+11\vec{j}+20\vec{k}.
Unidade: como \vec{F} está em newtons e \vec{r} em metros, \vec{\tau} tem unidade de \mathrm{N\cdot m}.]

Passo 4

Breve exemplo ilustrativo (para fixar): se \vec{a}=\vec{i}=(1,0,0) e \vec{b}=\vec{j}=(0,1,0), então
\vec{a}\times\vec{b}=(0,0,1)=\vec{k},
ou seja a resultante aponta em \vec{k}. Isso ajuda a lembrar a regra da mão direita e que o produto vetorial depende da ordem (trocar a ordem inverte o sinal).

Passo 5

Cálculo do momento angular \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
Agora uso \displaystyle \vec{p}=(3,\,-4,\,6) e \displaystyle \vec{r}=(2,\,4,\,-5).
Aplicando a mesma fórmula por componentes:
\begin{aligned} L_x &= a_2 p_3 - a_3 p_2 = 4\cdot 6 - (-5)\cdot(-4),\\[4pt] L_y &= -\bigl(a_1 p_3 - a_3 p_1\bigr) = -\bigl(2\cdot 6 - (-5)\cdot 3\bigr),\\[4pt] L_z &= a_1 p_2 - a_2 p_1 = 2\cdot(-4) - 4\cdot 3. \end{aligned}
Faço as contas:
L_x = 4\cdot 6 - (-5)\cdot(-4) = 24 - 20 = 4.
L_y = -\bigl(2\cdot 6 - (-5)\cdot 3\bigr) = -\bigl(12 - (-15)\bigr) = -\bigl(12+15\bigr) = -27.
L_z = 2\cdot(-4) - 4\cdot 3 = -8 - 12 = -20.
Portanto
\vec{L}=4\vec{i}-27\vec{j}-20\vec{k}.
Unidade: como \vec{p} tem unidade \mathrm{kg\cdot m/s} e \vec{r} metros, \vec{L} tem unidade \mathrm{kg\cdot m^2/s}.]

Resposta

\vec{\tau}=28\vec{i}+11\vec{j}+20\vec{k}\\ \mathrm{N\cdot m}
\vec{L}=4\vec{i}-27\vec{j}-20\vec{k}\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}

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