Uma partícula està na posiçăo \vec{r}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{k}(\mathrm{em} \mathrm{m}) com uma quantidade de movimento linear \vec{p}=3 \vec{i}- 4 \vec{j}+6 \vec{k} ( cm unidades do Sl ) e sobre cla atua a força \vec{F}=-3 \vec{i}+4 \vec{j}+2 \vec{k}(\mathrm{~cm} \mathrm{~N}).
Determine
a) o torque da força.
b) o vetor momento angular da particula.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) o torque (momento de força) exercido pela força \vec{F} na partícula;
(b) o vetor momento angular (angular momentum) da partícula relativo à origem.
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado) são:
posição: \displaystyle \vec{r}=2\vec{i}+4\vec{j}-5\vec{k} (em metros);
quantidade de movimento linear: \displaystyle \vec{p}=3\vec{i}-4\vec{j}+6\vec{k} (assumirei unidades do SI: \mathrm{kg\cdot m/s});
força: \displaystyle \vec{F}=-3\vec{i}+4\vec{j}+2\vec{k} (assumirei unidades do SI: \mathrm{N}).
Observação: o enunciado contém pequenas incoerências textuais quanto às unidades, então adotei a interpretação usual em problemas de mecânica: \vec{r} em metros, \vec{p} em \mathrm{kg\cdot m/s} e \vec{F} em newtons.
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
O torque (ou momento da força) \vec{\tau} em relação à origem é dado pelo produto vetorial (cross product) entre o vetor posição \vec{r} e a força \vec{F}:
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
O momento angular (angular momentum) \vec{L} de uma partícula de posição \vec{r} e quantidade de movimento \vec{p} é também um produto vetorial:
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
Sobre o produto vetorial (como calcular e o que significa):
Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} tem componentes dadas pela regra:
Unidade: como \vec{F} está em newtons e \vec{r} em metros, \vec{\tau} tem unidade de \mathrm{N\cdot m}.]
Passo 4
Breve exemplo ilustrativo (para fixar): se \vec{a}=\vec{i}=(1,0,0) e \vec{b}=\vec{j}=(0,1,0), então
\vec{a}\times\vec{b}=(0,0,1)=\vec{k},
ou seja a resultante aponta em \vec{k}. Isso ajuda a lembrar a regra da mão direita e que o produto vetorial depende da ordem (trocar a ordem inverte o sinal).
Passo 5
Cálculo do momento angular \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
Agora uso \displaystyle \vec{p}=(3,\,-4,\,6) e \displaystyle \vec{r}=(2,\,4,\,-5).