O trabalho W realizado por uma força \vec{F}, para mover uma partícula de massa m de um ponto 1 até um ponto 2, é definido como W \equiv \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d \vec{x}.
a) (2,0 pontos) Mostre que W=\frac{m v_{2}^{2}}{2}-\frac{m v_{1}^{2}}{2}, onde T \equiv \frac{m v^{2}}{2} é a energia cinética da partícula.
b) (0,5 ponto) Supondo que seja possivel definir uma energia potencial U, tal que U_{2}-U_{1} \equiv -\int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d \vec{x}, verfique que, neste caso, a energia mecânica E=\frac{m v^{2}}{2}+U se conserva.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Definição do trabalho:
W \equiv \int_{1}^{2} \vec{F}\cdot d\vec{x}.
  • A partícula tem massa m e velocidades nos pontos 1 e 2 iguais a \vec{v}_1 e \vec{v}_2. A energia cinética é definida por T\equiv\frac{m v^{2}}{2}, onde v=|\vec{v}|.
  • Parte (a): provar que
W=\frac{m v_{2}^{2}}{2}-\frac{m v_{1}^{2}}{2}.
  • Parte (b): supondo que exista energia potencial U tal que
U_{2}-U_{1}\equiv -\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot d\vec{x},
verificar que a energia mecânica
E=\frac{m v^{2}}{2}+U
se conserva (ou seja, E_2=E_1).
Não começo a resolver ainda; apenas deixei claro o que é dado e o que é pedido.

Passo 2

Primeiro passo na resolução: usar a relação entre força e aceleração (lei de Newton) e as relações entre derivadas temporais. Vou explicar cada peça:
  • Lei de Newton (assumida aqui como válida): \vec{F}=m\vec{a}. Isso significa que a força total que age na partícula é igual à massa vezes a aceleração.
  • Definições de derivadas:
    • \vec{v}=\dfrac{d\vec{x}}{dt} é a velocidade.
    • \vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt} é a aceleração.
  • Diferencial de posição em função do tempo: d\vec{x}=\vec{v}\,dt.
  • Produto escalar: \vec{A}\cdot\vec{B} é a soma dos produtos das componentes; e atenção útil: se v^2=\vec{v}\cdot\vec{v}, então diferenciando obtemos d(v^2)=2\vec{v}\cdot d\vec{v}. Vou usar essas relações passo a passo.

Passo 3

Substituo \vec{F}=m\vec{a} na definição do trabalho:
W=\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot d\vec{x}=\int_{1}^{2} m\vec{a}\cdot d\vec{x}.
Agora troco d\vec{x} por \vec{v}\,dt, porque d\vec{x}=\vec{v}\,dt. Assim
W=\int_{t_1}^{t_2} m\vec{a}\cdot\vec{v}\,dt,
onde t_1 e t_2 são os instantes nos quais a partícula está nos pontos 1 e 2. Em seguida uso \vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}, então
W=\int_{t_1}^{t_2} m\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\right)\cdot\vec{v}\,dt.

Passo 4

Vou simplificar o integrando usando a forma diferencial. Observe que
\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\right)\cdot\vec{v}\,dt = \vec{v}\cdot d\vec{v}.
Logo
W = m\int_{t_1}^{t_2} \vec{v}\cdot d\vec{v}.
Agora uso a identidade que vincula \vec{v}\cdot d\vec{v} com a derivada de v^2. Como v^2=\vec{v}\cdot\vec{v}, diferenciando:
d(v^2)=2\vec{v}\cdot d\vec{v}\quad\Rightarrow\quad \vec{v}\cdot d\vec{v}=\tfrac{1}{2}d(v^2).
Substituindo na integral:
W = m\int_{1}^{2} \tfrac{1}{2} d(v^{2}) = \tfrac{m}{2}\int_{v_1^{2}}^{v_2^{2}} d(v^{2}).

Passo 5

Faço a integral simples sobre v^{2}:
W = \tfrac{m}{2}\bigl(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\bigr).
Isto é exatamente a relação pedida. Em palavras: o trabalho feito pela força entre os pontos 1 e 2 é igual à variação da energia cinética \Delta T = T_2-T_1, pois T=\tfrac{m v^2}{2}. Então
W = T_2-T_1.
Comentário prático (pequeno exemplo para fixar): no caso unidimensional com força constante \,F, tem-se a=F/m e a relação clássica v_2^{2}-v_1^{2}=2a\Delta x F\Delta x=\tfrac{m}{2}(v_2^2-v_1^2), que é a mesma identidade — é só uma verificação em um caso simples.

Passo 6

Agora a parte (b). Foi dada a definição de energia potencial:
U_{2}-U_{1}\equiv -\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot d\vec{x}.
Mas pela parte (a) \displaystyle \int_{1}^{2}\vec{F}\cdot d\vec{x}=T_2-T_1. Substituindo na definição de U:
U_{2}-U_{1} = -(T_2-T_1).
Rearranjo:
T_2+U_2 = T_1+U_1.
Portanto a quantidade E=T+U tem o mesmo valor em 1 e em 2; isto é, E_2=E_1, ou seja, a energia mecânica
E=\frac{m v^{2}}{2}+U
é conservada ao longo do movimento sob essa força (quando existe energia potencial bem definida com a relação dada).

Resposta

a) W=\dfrac{m v_{2}^{2}}{2}-\dfrac{m v_{1}^{2}}{2}
b) \displaystyle E=\dfrac{m v^{2}}{2}+U=\text{const} (ou seja, E_2=E_1)

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