O trabalho
realizado por uma força
, para mover uma partícula de massa
de um ponto 1 até um ponto 2, é definido como
.
a) (2,0 pontos) Mostre que
, onde
é a energia cinética da partícula.
b) (0,5 ponto) Supondo que seja possivel definir uma energia potencial
, tal que
, verfique que, neste caso, a energia mecânica
se conserva.
a) (2,0 pontos) Mostre que
b) (0,5 ponto) Supondo que seja possivel definir uma energia potencial
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Definição do trabalho:
- A partícula tem massa
e velocidades nos pontos 1 e 2 iguais a e . A energia cinética é definida por , onde . - Parte (a): provar que
- Parte (b): supondo que exista energia potencial
tal que
verificar que a energia mecânica
se conserva (ou seja,
).
Não começo a resolver ainda; apenas deixei claro o que é dado e o que é pedido.
Passo 2
Primeiro passo na resolução: usar a relação entre força e aceleração (lei de Newton) e as relações entre derivadas temporais. Vou explicar cada peça:
- Lei de Newton (assumida aqui como válida):
. Isso significa que a força total que age na partícula é igual à massa vezes a aceleração. - Definições de derivadas:
-
é a velocidade. -
é a aceleração.
-
- Diferencial de posição em função do tempo:
. - Produto escalar:
é a soma dos produtos das componentes; e atenção útil: se , então diferenciando obtemos . Vou usar essas relações passo a passo.
Passo 3
Substituo
na definição do trabalho:
Agora troco
por
, porque
. Assim
onde
e
são os instantes nos quais a partícula está nos pontos 1 e 2. Em seguida uso
, então
Passo 4
Vou simplificar o integrando usando a forma diferencial. Observe que
Logo
Agora uso a identidade que vincula
com a derivada de
. Como
, diferenciando:
Substituindo na integral:
Passo 5
Faço a integral simples sobre
:
Isto é exatamente a relação pedida. Em palavras: o trabalho feito pela força entre os pontos 1 e 2 é igual à variação da energia cinética
, pois
. Então
Comentário prático (pequeno exemplo para fixar): no caso unidimensional com força constante
, tem-se
e a relação clássica
dá
, que é a mesma identidade — é só uma verificação em um caso simples.
Passo 6
Agora a parte (b). Foi dada a definição de energia potencial:
Mas pela parte (a)
. Substituindo na definição de
:
Rearranjo:
Portanto a quantidade
tem o mesmo valor em 1 e em 2; isto é,
, ou seja, a energia mecânica
é conservada ao longo do movimento sob essa força (quando existe energia potencial bem definida com a relação dada).
Resposta
a)
b)
(ou seja,
)