34.60 •• Resolução de um microscópio. A objetiva de um microscópio com distância focal de 5,0 \mathrm{~mm} forma uma imagem a uma distância de 160 mm de seu segundo foco. A ocular possui distância focal igual a 26,0 \mathrm{~mm}. (a) Qual é a ampliação angular do microscópio? (b) O olho nu consegue distinguir dois pontos nas vizinhanças do ponto próximo quando a distância entre os pontos é aproximadamente igual a 0,10 \mathrm{~mm}. Qual é a separação mínima que pode ser observada (ou resolvida) com esse microscópio?

Passo 1

O enunciado descreve um microscópio cujas lentes são:
– objetiva de distância focal f_{\rm obj}=5{,}0\\ \mathrm{mm}, que forma a imagem intermediária a 160\\ \mathrm{mm} de seu segundo foco (isto é, o “comprimento do tubo” L=160\\ \mathrm{mm});
– ocular de distância focal f_{\rm oc}=26{,}0\\ \mathrm{mm}.
Precisamos (a) calcular a ampliação angular total M do sistema e (b) usar a resolução angular do olho nu ( \Delta_{\rm olho} corresponde a \approx0{,}10\\ \mathrm{mm} no ponto próximo a 25\\ \mathrm{cm}) para encontrar a separação mínima no objeto que o microscópio consegue resolver.

Passo 2

A ampliação linear da objetiva é dada por
m_{\rm obj}=\frac{L}{f_{\rm obj}}\,,
pois o objeto está quase no foco e a imagem se forma a L além dele. Substituindo,
m_{\rm obj}=\frac{160\\ \mathrm{mm}}{5{,}0\\ \mathrm{mm}}=32\,.

Passo 3

A ampliação angular da ocular, com o olho relaxado, é
m_{\rm oc}=\frac{d_{\rm pp}}{f_{\rm oc}}\,,
onde d_{\rm pp}=25\\ \mathrm{cm}=250\\ \mathrm{mm} é o ponto próximo do olho. Logo
m_{\rm oc}=\frac{250\\ \mathrm{mm}}{26{,}0\\ \mathrm{mm}}\approx9{,}62\,.

Passo 4

A ampliação angular total do microscópio é o produto
M = m_{\rm obj}\,m_{\rm oc} = 32\times9{,}62 \approx308\,.

Passo 5

O olho distingue dois pontos no seu ponto próximo se eles estiverem separados por \Delta_{\rm olho}\approx0{,}10\\ \mathrm{mm}. Com o microscópio, a separação mínima no objeto é reduzida por M:
\Delta_{\min}=\frac{\Delta_{\rm olho}}{M} =\frac{0{,}10\\ \mathrm{mm}}{308} \approx3{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{mm} \approx0{,}32\\ \mu\mathrm{m}\,.

Resposta

(a) M\approx 3,1 \times 10^{2}.
(b) \Delta_{\min} \approx 3,2 \times 10^{-4} \\ \mathrm{mm}; \approx 0,32 \\ \mu\mathrm{m}.

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